Dans chaque groupe de trois équations, détermine celle qui est résolue correctement.
Groupe 1
\[ |5y - 25| = 100 \quad (+25) \] \[ 5y = 100 \quad \div 5 \] \[ y = 20 \] \[ S = \{20\} \]
\[ |5y - 25| = 100 \quad (+25) \] \[ 5y = 125 \quad \div 5 \] \[ y = 25 \] \[ S = \{25\} \]
\[ |5y - 25| = 100 \quad (-25) \] \[ 5y = 75 \quad \div 5 \] \[ y = 15 \] \[ S = \{15\} \]
Groupe 1
\[ \begin{array}{rl} 8x &= 64 - 8x \quad (-8x) \\ 0 &= 64 \\ S &= \varnothing \end{array} \]
Groupe 2
\[ \begin{array}{rl} 8x &= 64 - 8x \quad (+8x) \\ 16x &= 64 \\ x &= 4 \\ S &= \{4\} \end{array} \]
Groupe 3
\[ 8x = 64 - 8x \] \[ 8x = 56x \] \[ x = 7x \] \[ x = 0 \] \[ S = \{0\} \quad \div 8 \]
Groupe 1
\[ 40 - 1{,}2z = 100 \quad (-40) \] \[ -1{,}2z = 60 \quad \div (-1{,}2) \] \[ z = -50 \] \[ S = \{-50\} \]
Groupe 2
\[ 40 - 1{,}2z = 100 \quad (+1{,}2z) \] \[ 40 = 100 + 1{,}2z \quad (-100) \] \[ -60 = 1{,}2z \quad \div 1{,}2 \] \[ z = -50 \] \[ S = \{-50\} \]
Groupe 3
\[ 40 - 1{,}2z = 100 \quad (-40) \] \[ -1{,}2z = 60 \quad \times 10 \] \[ -12z = 600 \quad \div 12 \] \[ z = -50 \] \[ S = \{-50\} \]
Groupe 1
\[ 3x - 3 = 2{,}4x + 2{,}4 \quad (-2{,}4x) \] \[ 0{,}6x - 3 = 2{,}4 \quad (+3) \] \[ 0{,}6x = 5{,}4 \quad \div 0{,}6 \] \[ x = 9 \] \[ S = \{9\} \]
Groupe 2
\[ 3x - 3 = 2{,}4x + 2{,}4 \quad (-3) \] \[ 3x = 2{,}4x + 5{,}4 \quad (-2{,}4x) \] \[ 0{,}6x = 5{,}4 \] \[ x = 9 \] \[ S = \{9\} \]
Groupe 3
\[ \begin{array}{c} 3x - 3 = 2{,}4x + 2{,}4 \quad (+3) \\ 5{,}4x = 5{,}4 \quad (-2{,}4x) \\ x = 1 \\ S = \{1\} \quad \div 5{,}4 \end{array} \]
Traduis ces deux énoncés par une équation.
Si je quadruple un nombre et que j’ajoute 12, le résultat est égal au triple de ce nombre diminué de 6.
Dans une collection de 50 billes, il y a \(x\) billes rouges et \(3x\) billes vertes.
Résous ces deux problèmes à l’aide d’une équation.
Un père de 45 ans a un fils de 15 ans. Dans combien d’années l’âge du fils sera-t-il un tiers de l’âge du père?
Léa a économisé une somme deux fois plus importante que celle de son frère Maxime. Leur sœur Emma a 20 euros de plus que Léa. À eux trois, ils possèdent 280 euros. Calcule ce que chacun a réussi à économiser.
Sont-elles équivalentes ?
\(35y - 60 = 25\) et \(35y = 85\)
\(3z + 30 = 25\) et \(\frac{3z}{2} + 15 = 25\)
\(40y - 80 = 30\) et \(40y - 100 = 0\)
\(15y - (6y + 18) = 50y + 35\) et \(9y + 18 = 50y + 35\)
\(6y - 60 = 3y - 60\) et \(6y = 3y\)
\(-30y + 50 = -30y - 200\) et \(50 = -200\)
Parmi les nombres ci-dessous, y en a-t-il qui sont la (les) solution(s) de l’équation \(x^{2} - 6x + 10 = 20\) ? Si oui, entoure-le(s).
\(-5\), \(-2\), \(1\), \(3\), \(5\)
Sophie et Marc choisissent un même nombre. Sophie ajoute 2 à ce nombre et multiplie le résultat par 3. Marc multiplie ce nombre par 5 et soustrait 4. Ils constatent qu’ils obtiennent le même résultat.
Quel nombre ont-ils choisi ?
Sont-elles équivalentes ?
\(35y - 60 = 25\) et \(35y = 85\)
\(3z + 30 = 25\) et \(\frac{3z}{2} + 15 = 25\)
\(40y - 80 = 30\) et \(40y - 100 = 0\)
\(15y - (6y + 18) = 50y + 35\) et \(9y + 18 = 50y + 35\)
\(6y - 60 = 3y - 60\) et \(6y = 3y\)
\(-30y + 50 = -30y - 200\) et \(50 = -200\)
Parmi les nombres ci-dessous, y en a-t-il qui sont la (les) solution(s) de l’équation \(x^{2} - 6x + 10 = 20\) ? Si oui, entoure-le(s).
\(-5\), \(-2\), \(1\), \(3\), \(5\)
Sophie et Marc choisissent un même nombre. Sophie ajoute 2 à ce nombre et multiplie le résultat par 3. Marc multiplie ce nombre par 5 et soustrait 4. Ils constatent qu’ils obtiennent le même résultat.
Quel nombre ont-ils choisi ?
Réponse très synthétique :
I – Identifier la résolution correcte a) Pour |5y – 25| = 100, la
démarche (2) est juste (y = 25 pour 5y – 25 = 100).
b) Pour 8x = 64 – 8x, le groupe 2 est correct (x = 4).
c) Pour 40 – 1,2z = 100, toutes les démarches correctes donnent z =
–50.
d) Pour 3x – 3 = 2,4x + 2,4, les groupes 1 et 2 sont corrects (x =
9).
II – Traduction en équations et problèmes 1a) « Quadruple et +12 =
triple –6 » se traduit par 4x + 12 = 3x – 6.
1b) « x billes rouges et 3x vertes dans 50 billes » donne x + 3x =
50.
2a) Pour le problème d’âges, t = 0 (le fils est déjà un tiers du
père).
2b) Pour les économies, Maxime = 52 €, Léa = 104 € et Emma = 124 €.
III – Équivalence d’équations, équation du second degré et problème
1) Parmi les paires FA283 à FA288 : – a) équivalentes
– b), c) et d) non équivalentes
– e) et f) équivalentes
2) L’équation x² – 6x + 10 = 20, soit x² – 6x – 10 = 0, admet pour
solutions x = 3 ± √19, donc aucune des valeurs proposées n’est
solution.
3) Pour Sophie et Marc, l’équation 3(x + 2) = 5x – 4 mène à x = 5.
Nous allons corriger chacune des parties de l’exercice en détaillant toutes les étapes et en expliquant la logique derrière chaque opération.
────────────────────────────── I – Dans chaque groupe de trois équations, détermine celle qui est résolue correctement.
────────────────────────────── A) Équation à valeurs absolues
On considère l’équation |5y – 25| = 100. Pour ce type d’équation, il
faut se souvenir que l’expression entre barres vaut soit le nombre
positif, soit son opposé. Autrement dit, on doit résoudre :
(1) 5y – 25 = 100 et (2) 5y – 25 = –100.
Calculons la première branche :
• Si 5y – 25 = 100, on ajoute 25 de chaque côté :
5y = 100 + 25 = 125
• Puis on divise par 5 :
y = 125 ÷ 5 = 25
La solution obtenue pour cette branche est y = 25, ce qui correspond
à la résolution indiquée en option (2).
Les autres propositions montrent soit y = 20 (option 1) soit y = 15
(option 3) qui ne correspondent pas à l’une des deux démarches
attendues. (On noterait, en plus, que la deuxième branche conduirait à y
= (–100 + 25) ÷ 5 = –75 ÷ 5 = –15, mais ici l’exercice nous demande de
repérer la démarche correctement effectuée parmi celles proposées.)
Donc, pour le groupe a), c’est la démarche (2) qui est correcte.
────────────────────────────── B) Équation linéaire en x
On a l’équation : 8x = 64 – 8x
La méthode la plus simple est de rassembler les termes en x dans un même
membre. Bien vérifier les signes est important.
• Si l’on ajoute 8x aux deux côtés, on obtient :
8x + 8x = 64
16x = 64
• Puis on divise par 16 :
x = 64 ÷ 16 = 4
La proposition du Groupe 2 suit exactement cette démarche.
Les autres démarches montrent des erreurs de signes (Groupe 1) ou des
manipulations incorrectes (Groupe 3).
Ainsi, pour le groupe b), la résolution correcte est celle du Groupe 2.
────────────────────────────── C) Équation en z
L’équation est : 40 – 1,2z = 100
Pour résoudre, il faut isoler le terme en z.
Méthode classique :
1. Soustraire 40 des deux côtés pour obtenir :
40 – 1,2z – 40 = 100 – 40
–1,2z = 60
2. Diviser ensuite par –1,2 :
z = 60 ÷ (–1,2) = –50
Les trois propositions (Groupe 1, Groupe 2 et Groupe 3) effectuent des opérations équivalentes (même si certaines multiplient par 10 pour se débarrasser de la virgule) et trouvent toutes z = –50.
Donc, pour le groupe c), les trois résolutions sont correctes.
────────────────────────────── D) Équation en x
L’équation donnée est : 3x – 3 = 2,4x + 2,4
Nous voulons isoler x. Une façon de procéder est la suivante :
Soustraire 2,4x de chaque côté pour regrouper les x à gauche
:
3x – 2,4x – 3 = 2,4x – 2,4x + 2,4
0,6x – 3 = 2,4
Ajouter 3 de chaque côté pour isoler le terme en x :
0,6x = 2,4 + 3 = 5,4
Diviser par 0,6 :
x = 5,4 ÷ 0,6 = 9
Les démarches du Groupe 1 et du Groupe 2 aboutissent à cette solution x = 9, tandis que le Groupe 3 commet une erreur dans la manipulation des termes.
Donc, pour le groupe d), les résolutions correctes sont celles du Groupe 1 et du Groupe 2.
────────────────────────────── II – Traduction d’énoncés en équations et résolution de problèmes
────────────────────────────── 1. Traduire les énoncés par une équation
Énoncé : « Si je quadruple un nombre et que j’ajoute 12, le
résultat est égal au triple de ce nombre diminué de 6. »
On désigne le nombre par x.
Quadrupler le nombre donne 4x, et ajouter 12 correspond à 4x + 12.
Le triple de ce nombre est 3x, puis « diminué de 6 » donne 3x – 6.
L’égalité donnée se traduit par :
4x + 12 = 3x – 6
Énoncé : « Dans une collection de 50 billes, il y a x billes
rouges et 3x billes vertes. »
Le nombre total est la somme des billes rouges et vertes, soit :
x + 3x = 50
Simplifions :
4x = 50
────────────────────────────── 2. Résoudre à l’aide d’une équation
Problème des âges
Un père a 45 ans et son fils 15 ans. On veut savoir dans combien
d’années (notons t l’inconnue) l’âge du fils sera un tiers de celui du
père.
Dans t années :
Âge du père = 45 + t
Âge du fils = 15 + t
La condition devient :
15 + t = (1/3)(45 + t)
Pour se débarrasser de la fraction, multiplions chaque côté par 3
:
3(15 + t) = 45 + t
45 + 3t = 45 + t
Ensuite, soustrayons 45 des deux côtés :
3t = t
Soustrayons t :
2t = 0
donc t = 0
Cela signifie que la relation est déjà satisfaite dès maintenant puisque
15 est bien un tiers de 45.
Problème d’économies
On apprend que Léa a économisé une somme deux fois plus importante que
celle de son frère Maxime et que leur sœur Emma a 20 euros de plus que
Léa. La somme totale est 280 euros.
Notons M le montant économisé par Maxime.
• Léa a alors : 2M
• Emma a : 2M + 20
L’équation donnant le total est :
M + 2M + (2M + 20) = 280
Calculons la somme :
5M + 20 = 280
Soustrayons 20 aux deux côtés :
5M = 260
Divisons par 5 :
M = 52
Ainsi, Maxime a économisé 52 euros, Léa a économisé 2 × 52 = 104 euros,
et Emma a : 104 + 20 = 124 euros.
────────────────────────────── III – Vérification de l’équivalence d’équations, solution d’une équation du second degré et problème de nombre
────────────────────────────── 1. Vérifier l’équivalence de FA283 à FA288
Nous comparons chaque paire de deux équations :
Première paire :
Équation (i) : 35y – 60 = 25
Équation (ii) : 35y = 85
Pour (i) : Ajouter 60 des deux côtés donne 35y = 25 + 60 = 85, ce qui
est exactement (ii).
→ Elles sont équivalentes.
Deuxième paire :
(i) : 3z + 30 = 25 → 3z = 25 – 30 = –5, donc z = –5/3.
(ii) : (3z)/2 + 15 = 25 → (3z)/2 = 25 – 15 = 10, donc z = (10×2)/3 =
20/3.
Les solutions obtenues sont différentes.
→ Elles ne sont pas équivalentes.
Troisième paire :
(i) : 40y – 80 = 30 → 40y = 30 + 80 = 110, donc y = 110/40 =
11/4.
(ii) : 40y – 100 = 0 → 40y = 100, donc y = 100/40 = 5/2.
Comme 11/4 ≠ 5/2,
→ Elles ne sont pas équivalentes.
Quatrième paire :
(i) : 15y – (6y + 18) = 50y + 35
Calculons le membre de gauche : 15y – 6y – 18 = 9y – 18, ce qui
donne 9y – 18 = 50y + 35.
(ii) : 9y + 18 = 50y + 35
Les deux équations ne conduisent pas à la même condition sur y.
→ Elles ne sont pas équivalentes.
Cinquième paire :
(i) : 6y – 60 = 3y – 60
Soustraire 3y – 60 aux deux côtés donne : 6y – 3y = 0, donc 3y = 0
et y = 0.
(ii) : 6y = 3y
Ici, soustraire 3y on obtient 3y = 0, donc y = 0.
Les deux équations admettent la même solution (y = 0).
→ Elles sont équivalentes.
Sixième paire :
(i) : –30y + 50 = –30y – 200
Ajouter 30y aux deux côtés élimine le terme en y : 50 = –200, ce qui
est faux pour tout y.
(ii) : 50 = –200
Les deux équations sont automatiquement fausses (aucune solution
n’existe).
Comme elles ont le même ensemble de solution (l’ensemble vide),
→ Elles sont considérées comme équivalentes.
────────────────────────────── 2. Recherche de solutions dans une
liste
Nous cherchons parmis les nombres donnés s’il existe des solutions à
l’équation :
x² – 6x + 10 = 20
D’abord, mettons l’équation sous forme réduite :
x² – 6x + 10 – 20 = 0 → x² – 6x – 10 = 0
Calculons le discriminant Δ :
Δ = (–6)² – 4×1×(–10) = 36 + 40 = 76
Les solutions sont :
x = [6 ± √76] / 2
√76 peut s’exprimer sous la forme 2√19, d’où
x = [6 ± 2√19] / 2 = 3 ± √19
Approximativement,
x₁ ≈ 3 + 4,36 = 7,36 et x₂ ≈ 3 – 4,36 = –1,36
Parmi les nombres proposés (–5, –2, 1, 3, 5), aucun ne correspond à
environ 7,36 ou –1,36.
→ Aucune des réponses proposées n’est solution de l’équation.
────────────────────────────── 3. Problème de Sophie et Marc
Énoncé : « Sophie et Marc choisissent un même nombre. Sophie ajoute 2 à
ce nombre et multiplie le résultat par 3. Marc multiplie ce nombre par 5
et soustrait 4. Ils obtiennent le même résultat. Quel nombre ont-ils
choisi ? »
Soit x le nombre choisi.
Pour Sophie, l’opération donne :
3(x + 2)
Pour Marc, cela donne :
5x – 4
L’égalité se traduit par :
3(x + 2) = 5x – 4
Développons et résolvons cette équation :
1. Développer le côté gauche :
3x + 6 = 5x – 4
2. Rassembler les x d’un côté :
3x + 6 – 3x = 5x – 4 – 3x
6 = 2x – 4
3. Ajouter 4 aux deux côtés :
6 + 4 = 2x
10 = 2x
4. Diviser par 2 :
x = 10 ÷ 2 = 5
Ainsi, le nombre choisi est 5.
────────────────────────────── Conclusion générale
Pour la première partie, dans les groupes donnés :
• Groupe (a) : La démarche (2) est correcte (y = 25 pour la branche 5y
– 25 = 100).
• Groupe (b) : Le Groupe 2 est correct (x = 4).
• Groupe (c) : Les trois démarches sont correctes (z = –50).
• Groupe (d) : Les Groupes 1 et 2 sont corrects (x = 9).
La traduction en équations donne :
a) 4x + 12 = 3x – 6
b) x + 3x = 50 ou 4x = 50
Les problèmes se résolvent ainsi :
a) Le fils est déjà un tiers du père (t = 0 ans)
b) Maxime : 52 euros, Léa : 104 euros, Emma : 124 euros
Pour les équations FA283 à FA288, les équivalences sont :
a) Équivalentes
b) Non équivalentes
c) Non équivalentes
d) Non équivalentes
e) Équivalentes
f) Équivalentes
Pour l’équation x² – 6x + 10 = 20, aucune des valeurs proposées n’est solution.
Enfin, pour Sophie et Marc, le nombre choisi est 5.
Chaque étape a été détaillée afin de montrer la logique utilisée pour arriver aux réponses.