Exercice 100

Question : Voici cinq séries d’équations équivalentes.

Pour chaque série, explique comment passer d’une ligne à la suivante.

	Équations	Explications
a)	\(\begin{gathered} 4y - 5 = 23 \\ 4y = 28 \end{gathered}\)
b)	\(\begin{gathered} 3 = 7x + 9 \\ -6 = 7x \end{gathered}\)
c)	\(\begin{aligned} 20x = 12 \\ x = \frac{12}{20} \end{aligned}\)
d)	\(\begin{aligned} 0{,}5 = \frac{y}{4} \\ 2 = y \end{aligned}\)
e)	\(\begin{gathered} 15x + 4 = 9x + 10 \\ 6x + 4 = 10 \\ 6x = 6 \\ x = 1 \end{gathered}\)

Résous les équations suivantes.

\(7x + 3 = 24\)
\(18x - 9 = 12x + 21\)
\(25x + 15 = 19x - 5x + 5\)

Réponse

Partie 1 – Transformations : a) 4y – 5 = 23 ⇒ 4y = 28
b) 3 = 7x + 9 ⇒ –6 = 7x
c) 20x = 12 ⇒ x = 12/20
d) 0,5 = y/4 ⇒ y = 2
e) 15x + 4 = 9x + 10 ⇒ x = 1

Partie 2 – Résolutions : a) 7x + 3 = 24 ⇒ x = 3
b) 18x – 9 = 12x + 21 ⇒ x = 5
c) 25x + 15 = 19x – 5x + 5 ⇒ x = –10/11

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en français pour chaque partie :

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Partie 1. Explication de la transformation de chaque série d’équations

Série d’équations :
Première ligne : 4y – 5 = 23
Deuxième ligne : 4y = 28
Explication :
• Pour passer de la première ligne à la deuxième, on ajoute 5 aux deux membres de l’équation afin d’isoler le terme 4y.
• On a : 4y – 5 + 5 = 23 + 5, ce qui donne 4y = 28.

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b) Série d’équations :
Première ligne : 3 = 7x + 9
Deuxième ligne : –6 = 7x
Explication :
• Ici, on soustrait 9 aux deux membres de l’équation pour isoler le terme contenant x.
• On obtient : 3 – 9 = 7x + 9 – 9, ce qui donne –6 = 7x.

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c) Série d’équations :
Première ligne : 20x = 12
Deuxième ligne : x = 12/20
Explication :
• Pour passer à la deuxième ligne, on divise chaque membre de l’équation par 20.
• La division permet de trouver la valeur de x : x = 12 ÷ 20 = 12/20.

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d) Série d’équations :
Première ligne : 0,5 = y/4
Deuxième ligne : 2 = y
Explication :
• Dans cette transformation, on multiplie chaque membre de l’équation par 4 afin d’éliminer le dénominateur.
• En multipliant : 0,5 × 4 = y/4 × 4, on trouve 2 = y.

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e) Série d’équations :
Première ligne : 15x + 4 = 9x + 10
Deuxième ligne : 6x + 4 = 10
Troisième ligne : 6x = 6
Quatrième ligne : x = 1
Explication :
• Première étape : Soustraire 9x aux deux membres pour regrouper les termes en x d’un côté.
15x + 4 – 9x = 9x + 10 – 9x, ce qui donne (15x – 9x) + 4 = 10, soit 6x + 4 = 10.
• Deuxième étape : Soustraire 4 des deux membres afin d’isoler le terme 6x.
6x + 4 – 4 = 10 – 4, ce qui donne 6x = 6.
• Troisième étape : Diviser chaque membre par 6 pour obtenir la valeur de x.
6x ÷ 6 = 6 ÷ 6, ce qui donne x = 1.

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Partie 2. Résolution des équations

Équation : 7x + 3 = 24
Étape 1 : Soustraire 3 des deux côtés pour isoler le terme en x.
7x + 3 – 3 = 24 – 3
7x = 21
Étape 2 : Diviser chaque membre par 7 pour trouver x.
x = 21 ÷ 7
x = 3

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b) Équation : 18x – 9 = 12x + 21
Étape 1 : Soustraire 12x des deux côtés afin de regrouper les x.
18x – 12x – 9 = 12x – 12x + 21
6x – 9 = 21
Étape 2 : Ajouter 9 aux deux côtés pour isoler le terme avec x.
6x – 9 + 9 = 21 + 9
6x = 30
Étape 3 : Diviser les deux côtés par 6 pour obtenir la valeur de x.
x = 30 ÷ 6
x = 5

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c) Équation : 25x + 15 = 19x – 5x + 5
Étape 1 : Regrouper les termes semblables du côté droit de l’équation.
19x – 5x = 14x, ainsi l’équation devient :
25x + 15 = 14x + 5
Étape 2 : Soustraire 14x des deux côtés pour rassembler les termes en x sur le même côté.
25x – 14x + 15 = 14x – 14x + 5
11x + 15 = 5
Étape 3 : Soustraire 15 des deux côtés pour isoler le terme en x.
11x + 15 – 15 = 5 – 15
11x = –10
Étape 4 : Diviser chaque membre par 11 pour obtenir x.
x = –10 ÷ 11
x = –10/11

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Voilà la correction complète des séries d’équations et des équations à résoudre, avec des explications détaillées pour chaque manipulation.