Exercice 99

Question :

1. Quel polynôme faut-il ajouter à \(7x\) pour obtenir \(14x + 3\) ?

2. Effectuez la même démarche avec les expressions littérales suivantes.

   1. \(2y - 5 + \quad = 4y + 1\)

   2. \(6z + 2 + \quad = z + 9\)

   3. \(9 + \quad = 2x + 6\)

   4. \(-5a + 3b + \quad = -2a + 5b\)

   5. \(-4w + 3 + \quad = 3w\)

   6. \(-3k - 7 + \quad = k - 5\)

   7. \(k + 2 + \quad = -8k\)

   8. \(-2m + \quad = 5m\)

Réponse

Voici la réponse résumée en français :

1. Pour obtenir 14x + 3 à partir de 7x, il faut ajouter : 7x + 3

2. Pour chaque expression littérale :  a) 2y + 6
    b) –5z + 7
    c) 2x – 3
    d) 3a + 2b
    e) 7w – 3
    f) 4k + 2
    g) –9k – 2
    h) 7m

Corrigé détaillé

Nous voulons trouver, dans chaque cas, quelle expression (polynôme ou expression littérale) il faut ajouter à une première expression pour obtenir une deuxième expression. La démarche générale est la suivante :
Si A + X = B, alors X = B – A.

Nous allons appliquer cette méthode pour chaque question.

────────────────────────────── 1. Polynôme à ajouter à 7x pour obtenir 14x + 3

On a :
  7x + ? = 14x + 3

Pour trouver l’expression manquante, on soustrait 7x des deux côtés :
  ? = (14x + 3) – 7x
  ? = 14x – 7x + 3
  ? = 7x + 3

Donc, il faut ajouter 7x + 3 à 7x pour obtenir 14x + 3.

────────────────────────────── 2. Pour chaque expression littérale, nous appliquerons la même méthode :

1. Expression : 2y – 5 + ? = 4y + 1

Écrivons l’équation avec le point d’interrogation :
  2y – 5 + X = 4y + 1

Pour isoler X, soustrayons 2y – 5 de chaque côté :
  X = (4y + 1) – (2y – 5)
  X = 4y + 1 – 2y + 5
  X = (4y – 2y) + (1 + 5)
  X = 2y + 6

2. Expression : 6z + 2 + ? = z + 9

On cherche X tel que :
  6z + 2 + X = z + 9

Pour isoler X, soustrayons 6z + 2 :
  X = (z + 9) – (6z + 2)
  X = z + 9 – 6z – 2
  X = (z – 6z) + (9 – 2)
  X = –5z + 7

3. Expression : 9 + ? = 2x + 6

On a :
  9 + X = 2x + 6

Pour isoler X, soustrayons 9 des deux côtés :
  X = (2x + 6) – 9
  X = 2x + (6 – 9)
  X = 2x – 3

4. Expression : –5a + 3b + ? = –2a + 5b

Écrivons :
  –5a + 3b + X = –2a + 5b

Pour isoler X, soustrayons –5a + 3b :
  X = (–2a + 5b) – (–5a + 3b)
  X = –2a + 5b + 5a – 3b
  X = (–2a + 5a) + (5b – 3b)
  X = 3a + 2b

5. Expression : –4w + 3 + ? = 3w

On a :
  –4w + 3 + X = 3w

Pour isoler X, on soustrait –4w + 3 des deux côtés :
  X = 3w – (–4w + 3)
  X = 3w + 4w – 3
  X = 7w – 3

6. Expression : –3k – 7 + ? = k – 5

On écrit :
  –3k – 7 + X = k – 5

Isolons X en soustrayant –3k – 7 :
  X = (k – 5) – (–3k – 7)
  X = k – 5 + 3k + 7
  X = (k + 3k) + (–5 + 7)
  X = 4k + 2

7. Expression : k + 2 + ? = –8k

On a :
  k + 2 + X = –8k

Pour isoler X, soustrayons k + 2 :
  X = –8k – (k + 2)
  X = –8k – k – 2
  X = –9k – 2

8. Expression : –2m + ? = 5m

On a :
  –2m + X = 5m

Isolons X en ajoutant 2m aux deux côtés :
  X = 5m + 2m
  X = 7m

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. Le polynôme à ajouter à 7x pour obtenir 14x + 3 est 7x + 3.

2.  a) 2y + 6
    b) –5z + 7
    c) 2x – 3
    d) 3a + 2b
    e) 7w – 3
    f) 4k + 2
    g) –9k – 2
    h) 7m

Chaque étape a consisté à isoler l’expression inconnue en soustrayant l’expression initiale du résultat souhaité. Cette méthode est très utile pour résoudre ce genre de problèmes d’équivalence d’expressions.