Question : Résous ces équations.
\(\frac{5}{6} x - \frac{2}{7} = \frac{3}{7} x + \frac{4}{6}\)
\(\frac{a - 4}{4} = \frac{a + 2}{6}\)
\(\frac{b - 5}{4} = \frac{2 - b}{3} + \frac{b}{5}\)
\(\frac{2}{5} - \frac{y + 2}{3} = 3y - \frac{4y + 2}{6}\)
\(\frac{3}{4} y + \frac{1}{5} = -\frac{7}{6} y + 4\)
\(\frac{y + 4}{5} - \frac{y - 2}{3} = 4\)
\(\frac{y}{4} + \frac{17}{8} = \frac{6y + 2}{8}\)
\(\frac{6 - a}{5} - \frac{a}{3} = a - \frac{3a - 2}{4}\)
\(x = \frac{40}{17} \approx 2,35\)
\(a = 16\)
\(b = 5\)
\(y = \frac{1}{40}\)
\(y \approx 1,98\)
\(y = -19\)
\(y = \frac{15}{4}\) ou \(y \approx 3,75\)
\(a = \frac{42}{47} \approx 0,89\)
Équation à résoudre : \[ \frac{5}{6}x - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}x + \frac{4}{6} \]
Étape 1 : Simplifier les fractions
Tout d’abord, simplifions les fractions lorsque c’est possible.
\[ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Donc, l’équation devient : \[ \frac{5}{6}x - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}x + \frac{2}{3} \]
Étape 2 : Regrouper les termes en \(x\) et les constantes de chaque côté
Pour isoler \(x\), nous allons déplacer tous les termes contenant \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre côté.
Soustrayons \(\frac{3}{7}x\) des deux côtés : \[ \frac{5}{6}x - \frac{3}{7}x - \frac{2}{7} = \frac{2}{3} \]
Pour faciliter les calculs, trouvons un dénominateur commun pour les coefficients de \(x\). Le dénominateur commun entre 6 et 7 est 42.
Convertissons les fractions : \[ \frac{5}{6}x = \frac{35}{42}x \quad \text{et} \quad \frac{3}{7}x = \frac{18}{42}x \]
Ainsi : \[ \frac{35}{42}x - \frac{18}{42}x - \frac{2}{7} = \frac{2}{3} \]
Étape 3 : Calculer la différence des coefficients de \(x\)
\[ \frac{35}{42}x - \frac{18}{42}x = \frac{17}{42}x \]
Donc : \[ \frac{17}{42}x - \frac{2}{7} = \frac{2}{3} \]
Étape 4 : Isoler le terme en \(x\)
Ajoutons \(\frac{2}{7}\) des deux côtés : \[ \frac{17}{42}x = \frac{2}{3} + \frac{2}{7} \]
Étape 5 : Additionner les constantes
Pour additionner \(\frac{2}{3}\) et \(\frac{2}{7}\), trouvons un dénominateur commun, qui est 21.
\[ \frac{2}{3} = \frac{14}{21} \quad \text{et} \quad \frac{2}{7} = \frac{6}{21} \]
Donc : \[ \frac{14}{21} + \frac{6}{21} = \frac{20}{21} \]
Ainsi : \[ \frac{17}{42}x = \frac{20}{21} \]
Étape 6 : Résoudre pour \(x\)
Pour isoler \(x\), multiplions les deux côtés par l’inverse de \(\frac{17}{42}\), c’est-à-dire \(\frac{42}{17}\) : \[ x = \frac{20}{21} \times \frac{42}{17} \]
Simplifions : \[ \frac{42}{21} = 2 \quad \text{donc} \quad x = \frac{20 \times 2}{17} = \frac{40}{17} \]
Résultat : \[ x = \frac{40}{17} \approx 2,35 \]
Équation à résoudre : \[ \frac{a - 4}{4} = \frac{a + 2}{6} \]
Étape 1 : Éliminer les dénominateurs
Pour se débarrasser des fractions, multiplions chaque terme de l’équation par le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs 4 et 6, qui est 12.
\[ 12 \times \frac{a - 4}{4} = 12 \times \frac{a + 2}{6} \]
Simplifions : \[ 3(a - 4) = 2(a + 2) \]
Étape 2 : Développer les parenthèses
\[ 3a - 12 = 2a + 4 \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(a\)
Soustrayons \(2a\) des deux côtés : \[ 3a - 2a - 12 = 4 \] \[ a - 12 = 4 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(a\)
Ajoutons 12 des deux côtés : \[ a = 4 + 12 \] \[ a = 16 \]
Résultat : \[ a = 16 \]
Équation à résoudre : \[ \frac{b - 5}{4} = \frac{2 - b}{3} + \frac{b}{5} \]
Étape 1 : Éliminer les dénominateurs
Le PPCM des dénominateurs 4, 3 et 5 est 60. Multiplions chaque terme par 60 pour éliminer les fractions.
\[ 60 \times \frac{b - 5}{4} = 60 \times \frac{2 - b}{3} + 60 \times \frac{b}{5} \]
Simplifions : \[ 15(b - 5) = 20(2 - b) + 12b \]
Étape 2 : Développer les parenthèses
\[ 15b - 75 = 40 - 20b + 12b \]
Simplifions les termes en \(b\) : \[ 15b - 75 = 40 - 8b \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(b\)
Ajoutons \(8b\) des deux côtés : \[ 15b + 8b - 75 = 40 \] \[ 23b - 75 = 40 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(b\)
Ajoutons 75 des deux côtés : \[ 23b = 40 + 75 \] \[ 23b = 115 \]
Divisons par 23 : \[ b = \frac{115}{23} \] \[ b = 5 \]
Résultat : \[ b = 5 \]
Équation à résoudre : \[ \frac{2}{5} - \frac{y + 2}{3} = 3y - \frac{4y + 2}{6} \]
Étape 1 : Éliminer les dénominateurs
Le PPCM des dénominateurs 5, 3 et 6 est 30. Multiplions chaque terme par 30 :
\[ 30 \times \frac{2}{5} - 30 \times \frac{y + 2}{3} = 30 \times 3y - 30 \times \frac{4y + 2}{6} \]
Simplifions : \[ 12 - 10(y + 2) = 90y - 5(4y + 2) \]
Étape 2 : Développer les parenthèses
\[ 12 - 10y - 20 = 90y - 20y - 10 \]
Simplifions : \[ -10y - 8 = 70y - 10 \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(y\)
Ajoutons \(10y\) des deux côtés : \[ -8 = 80y - 10 \]
Ajoutons 10 des deux côtés : \[ 2 = 80y \]
Étape 4 : Résoudre pour \(y\)
Divisons par 80 : \[ y = \frac{2}{80} = \frac{1}{40} \]
Résultat : \[ y = \frac{1}{40} \]
Équation à résoudre : \[ \frac{3}{4}y + \frac{1}{5} = -\frac{7}{6}y + 4 \]
Étape 1 : Éliminer les dénominateurs
Le PPCM des dénominateurs 4, 5 et 6 est 60. Multiplions chaque terme par 60 :
\[ 60 \times \frac{3}{4}y + 60 \times \frac{1}{5} = 60 \times -\frac{7}{6}y + 60 \times 4 \]
Simplifions : \[ 45y + 12 = -70y + 240 \]
Étape 2 : Regrouper les termes en \(y\)
Ajoutons \(70y\) des deux côtés : \[ 45y + 70y + 12 = 240 \] \[ 115y + 12 = 240 \]
Étape 3 : Isoler \(y\)
Soustrayons 12 des deux côtés : \[ 115y = 228 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(y\)
Divisons par 115 : \[ y = \frac{228}{115} = \frac{228 \div 23}{115 \div 23} = \frac{9.913}{5} \approx 1.98 \]
Résultat : \[ y \approx 1.98 \]
Équation à résoudre : \[ \frac{y + 4}{5} - \frac{y - 2}{3} = 4 \]
Étape 1 : Éliminer les dénominateurs
Le PPCM des dénominateurs 5 et 3 est 15. Multiplions chaque terme par 15 :
\[ 15 \times \frac{y + 4}{5} - 15 \times \frac{y - 2}{3} = 15 \times 4 \]
Simplifions : \[ 3(y + 4) - 5(y - 2) = 60 \]
Étape 2 : Développer les parenthèses
\[ 3y + 12 - 5y + 10 = 60 \]
Simplifions : \[ -2y + 22 = 60 \]
Étape 3 : Isoler \(y\)
Soustrayons 22 des deux côtés : \[ -2y = 38 \]
Divisons par -2 : \[ y = -19 \]
Résultat : \[ y = -19 \]
Équation à résoudre : \[ \frac{y}{4} + \frac{17}{8} = \frac{6y + 2}{8} \]
Étape 1 : Éliminer les dénominateurs
Le PPCM des dénominateurs 4 et 8 est 8. Multiplions chaque terme par 8 :
\[ 8 \times \frac{y}{4} + 8 \times \frac{17}{8} = 8 \times \frac{6y + 2}{8} \]
Simplifions : \[ 2y + 17 = 6y + 2 \]
Étape 2 : Regrouper les termes en \(y\)
Soustrayons \(2y\) des deux côtés : \[ 17 = 4y + 2 \]
Soustrayons 2 des deux côtés : \[ 15 = 4y \]
Étape 3 : Résoudre pour \(y\)
Divisons par 4 : \[ y = \frac{15}{4} = 3,75 \]
Résultat : \[ y = \frac{15}{4} \quad \text{ou} \quad y = 3,75 \]
Équation à résoudre : \[ \frac{6 - a}{5} - \frac{a}{3} = a - \frac{3a - 2}{4} \]
Étape 1 : Éliminer les dénominateurs
Le PPCM des dénominateurs 5, 3 et 4 est 60. Multiplions chaque terme par 60 :
\[ 60 \times \frac{6 - a}{5} - 60 \times \frac{a}{3} = 60 \times a - 60 \times \frac{3a - 2}{4} \]
Simplifions : \[ 12(6 - a) - 20a = 60a - 15(3a - 2) \]
Étape 2 : Développer les parenthèses
\[ 72 - 12a - 20a = 60a - 45a + 30 \]
Simplifions les termes en \(a\) : \[ 72 - 32a = 15a + 30 \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(a\)
Ajoutons \(32a\) des deux côtés : \[ 72 = 47a + 30 \]
Soustrayons 30 des deux côtés : \[ 42 = 47a \]
Étape 4 : Résoudre pour \(a\)
Divisons par 47 : \[ a = \frac{42}{47} \]
Résultat : \[ a = \frac{42}{47} \approx 0,89 \]