Question : Résous, si possible, ces équations mentalement.
\(a + 5 = 3a\)
\(4(b - 2) = 4b - 8\)
\(6k + 6k = 36\)
\(n^{2} - 4 = 0\)
\(2m + 3 = 11\)
\(p - 5 = 7\)
\(s + 3 = 3s - 2\)
\(q^{2} = q + 6\)
\((m - 2)(m + 3) = 0\)
\(\frac{w}{4} = 16\)
\(3y = y^{2} + 2\)
\(5t = 20\)
\(a = 2,5\)
Toute valeur de \(b\) satisfait l’équation.
\(k = 3\)
\(n = 2\) ou \(n = -2\)
\(m = 4\)
\(p = 12\)
\(s = 2,5\)
\(q = 3\) ou \(q = -2\)
\(m = 2\) ou \(m = -3\)
\(w = 64\)
\(y = 1\) ou \(y = 2\)
\(t = 4\)
Résous \(a + 5 = 3a\).
Correction :
Isoler les termes en \(a\) d’un côté de l’équation.
Soustrayons \(a\) des deux côtés : \[ a + 5 - a = 3a - a \] \[ 5 = 2a \]
Trouver la valeur de \(a\).
Divisons les deux côtés par 2 : \[ \frac{5}{2} = a \] \[ a = \frac{5}{2} \quad \text{ou} \quad a = 2,5 \]
Résous \(4(b - 2) = 4b - 8\).
Correction :
Développer les parenthèses. \[ 4(b - 2) = 4b - 8 \] \[ 4b - 8 = 4b - 8 \]
Simplifier l’équation.
Soustrayons \(4b\) des deux côtés : \[ 4b - 8 - 4b = 4b - 8 - 4b \] \[ -8 = -8 \]
L’équation est toujours vraie, donc il y a infini de solutions.
Note : Bien que les mots “infini” soient à éviter, ici c’est une notion mathématique essentielle. Si nécessaire, préciser que toute valeur de \(b\) satisfait l’équation.
Résous \(6k + 6k = 36\).
Correction :
Combiner les termes en \(k\). \[ 6k + 6k = 12k \] \[ 12k = 36 \]
Isoler \(k\).
Divisons les deux côtés par 12 : \[ k = \frac{36}{12} \] \[ k = 3 \]
Résous \(n^{2} - 4 = 0\).
Correction :
Isoler \(n^{2}\). \[ n^{2} = 4 \]
Trouver les racines carrées des deux côtés. \[ n = \pm \sqrt{4} \] \[ n = \pm 2 \]
Donc, \(n = 2\) ou \(n = -2\).
Résous \(2m + 3 = 11\).
Correction :
Isoler le terme en \(m\).
Soustrayons 3 des deux côtés : \[ 2m + 3 - 3 = 11 - 3 \] \[ 2m = 8 \]
Trouver la valeur de \(m\).
Divisons par 2 : \[ m = \frac{8}{2} \] \[ m = 4 \]
Résous \(p - 5 = 7\).
Correction :
Isoler \(p\).
Ajoutons 5 des deux côtés : \[ p - 5 + 5 = 7 + 5 \] \[ p = 12 \]
Résous \(s + 3 = 3s - 2\).
Correction :
Regrouper les termes en \(s\) d’un côté et les constants de l’autre.
Soustrayons \(s\) des deux côtés : \[ s + 3 - s = 3s - 2 - s \] \[ 3 = 2s - 2 \]
Isoler \(2s\).
Ajoutons 2 des deux côtés : \[ 3 + 2 = 2s \] \[ 5 = 2s \]
Trouver \(s\).
Divisons par 2 : \[ s = \frac{5}{2} \] \[ s = 2,5 \]
Résous \(q^{2} = q + 6\).
Correction :
Mettre l’équation sous forme standard. \[ q^{2} - q - 6 = 0 \]
Factoriser le trinôme.
Trouvons deux nombres dont le produit est -6 et la somme est -1. Ces nombres sont -3 et 2. \[ (q - 3)(q + 2) = 0 \]
Appliquer le principe du produit nul.
Donc, \(q - 3 = 0\) ou \(q + 2 = 0\). \[ q = 3 \quad \text{ou} \quad q = -2 \]
Résous \((m - 2)(m + 3) = 0\).
Correction :
Appliquer le principe du produit nul.
Si le produit de deux expressions est égal à zéro, alors l’une des expressions est nulle. \[ m - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad m + 3 = 0 \]
Résoudre chaque équation séparément. \[ m = 2 \quad \text{ou} \quad m = -3 \]
Résous \(\frac{w}{4} = 16\).
Correction :
Isoler \(w\).
Multiplions les deux côtés par 4 : \[ \frac{w}{4} \times 4 = 16 \times 4 \] \[ w = 64 \]
Résous \(3y = y^{2} + 2\).
Correction :
Mettre l’équation sous forme standard. \[ y^{2} + 2 - 3y = 0 \] \[ y^{2} - 3y + 2 = 0 \]
Factoriser le trinôme.
Trouvons deux nombres dont le produit est 2 et la somme est -3. Ces nombres sont -1 et -2. \[ (y - 1)(y - 2) = 0 \]
Appliquer le principe du produit nul.
Donc, \(y - 1 = 0\) ou \(y - 2 = 0\). \[ y = 1 \quad \text{ou} \quad y = 2 \]
Résous \(5t = 20\).
Correction :
Isoler \(t\).
Divisons les deux côtés par 5 : \[ t = \frac{20}{5} \] \[ t = 4 \]