Exercice 94

Question : Lors d’un tournoi de basket-ball, 100 ballons sont distribués aux dix équipes participantes.

La première équipe en reçoit le plus ; la deuxième en reçoit deux de moins que la première, la troisième en reçoit deux de moins que la deuxième, et ainsi de suite jusqu’à la dernière.

Combien de ballons reçoit la septième équipe ?

Réponse

Réponse : La septième équipe reçoit 7 ballons.

Corrigé détaillé

Correction :

Nous devons déterminer combien de ballons la septième équipe reçoit lors de la distribution.

1. Définir la variable :

   Appelons \(x\) le nombre de ballons que reçoit la première équipe.

2. Exprimer le nombre de ballons pour chaque équipe :

   • 1ère équipe : \(x\)
   • 2ème équipe : \(x - 2\)
   • 3ème équipe : \(x - 4\)
   • …
   • 10ème équipe : \(x - 18\)

   (Chaque équipe suivante reçoit 2 ballons de moins que la précédente.)

3. Écrire l’équation de la somme totale des ballons :

   La somme des ballons distribués aux dix équipes est de 100. Donc,

   \[ x + (x - 2) + (x - 4) + \dots + (x - 18) = 100 \]

4. Simplifier l’équation :

   • Il y a 10 termes dans la somme.

   \[ 10x - (2 + 4 + 6 + \dots + 18) = 100 \]

   • Calculons la somme \(2 + 4 + 6 + \dots + 18\). C’est une suite arithmétique où chaque terme augmente de 2, avec 9 termes au total.

   \[ \text{Somme} = \frac{9}{2} \times (2 + 18) = \frac{9}{2} \times 20 = 90 \]

   • Donc, l’équation devient :

   \[ 10x - 90 = 100 \]

5. Résoudre pour \(x\) :

   \[ 10x = 100 + 90 \]

   \[ 10x = 190 \]

   \[ x = \frac{190}{10} = 19 \]

6. Déterminer le nombre de ballons pour la septième équipe :

   La septième équipe reçoit 2 ballons de moins que la sixième, qui reçoit \(x - 10 = 19 - 10 = 9\) ballons. Donc,

   \[ \text{Septième équipe} = x - 12 = 19 - 12 = 7 \]

Réponse : La septième équipe reçoit 7 ballons.