Exercice 90

Question :
1. Associe chaque équation à son ensemble de solutions.

Équations

1. \(x = -3\)

2. \(7 + x = 2\)

3. \(\dfrac{x}{4} = 3\)

4. \(1,2x = 6x\)

5. \(x - 7 = 0\)

6. \(x - 2 = 4\)

7. \(3x + 5 = 2x + 10\)

8. \(x - 4 = x\)

9. \(5 = x + 8\)

10. \(x + 3 = x - 3\)

11. \(4x = 0\)

12. \(x = 2x\)

Solutions

\(S_{1} = \{-3\}\)

\(S_{2} = \{5\}\)

\(S_{3} = \{12\}\)

\(S_{4} = \varnothing\)

2. Parmi les équations précédentes, détermine celles qui sont équivalentes.

Réponse

Résumé de la Correction :

• Exercice 1 :
  • \(S_1 = \{-3\}\) : équations a) et i)
  • \(S_2 = \{5\}\) : équation g)
  • \(S_3 = \{12\}\) : équation c)
  • \(S_4 = \varnothing\) : équations b), d), e), f), h), j), k), l)
• Exercice 2 :
  • Équivalentes :
    • 1. et i)
    • b), d), e), f), h), j), k), l)
  • Non équivalentes :
    • 3. et g)

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Exercice 1 : Association des équations à leur ensemble de solutions

Nous allons associer chaque équation à l’ensemble de solutions \(S_1, S_2, S_3,\) ou \(S_4\) en résolvant chacune d’elles.

Équation a) \(x = -3\)

Étapes de résolution : 1. L’équation est déjà résolue pour \(x\). 2. La solution est \(x = -3\).

Ensemble de solutions : \(S_1 = \{-3\}\)

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Équation b) \(7 + x = 2\)

Étapes de résolution : 1. Isolons \(x\) en soustrayant 7 des deux côtés de l’équation : \[ 7 + x - 7 = 2 - 7 \implies x = -5 \]

Ensemble de solutions : \(S_4 = \varnothing\)
Remarque : Aucun des ensembles fournis ne contient \(-5\). Donc, cette équation n’a pas de solution dans les ensembles donnés.

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Équation c) \(\dfrac{x}{4} = 3\)

Étapes de résolution : 1. Multiplions les deux côtés de l’équation par 4 pour isoler \(x\) : \[ \dfrac{x}{4} \times 4 = 3 \times 4 \implies x = 12 \]

Ensemble de solutions : \(S_3 = \{12\}\)

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Équation d) \(1,2x = 6x\)

Étapes de résolution : 1. Simplifions l’équation : \[ 1,2x = 6x \] 2. Soustrayons \(1,2x\) des deux côtés : \[ 1,2x - 1,2x = 6x - 1,2x \implies 0 = 4,8x \] 3. Divisons les deux côtés par 4,8 : \[ \dfrac{0}{4,8} = x \implies 0 = x \]

Ensemble de solutions : \(S_4 = \varnothing\)
Remarque : Comme \(x = 0\) n’est pas dans les ensembles donnés, il n’y a pas de solution.

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Équation e) \(x - 7 = 0\)

Étapes de résolution : 1. Isolons \(x\) : \[ x - 7 = 0 \implies x = 7 \]

Ensemble de solutions : \(S_4 = \varnothing\)
Remarque : \(7\) n’est pas dans les ensembles \(S_1, S_2,\) ou \(S_3\). Donc, pas de solution.

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Équation f) \(x - 2 = 4\)

Étapes de résolution : 1. Isolons \(x\) en ajoutant 2 des deux côtés : \[ x - 2 + 2 = 4 + 2 \implies x = 6 \]

Ensemble de solutions : \(S_4 = \varnothing\)
Remarque : \(6\) n’est pas dans les ensembles disponibles.

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Équation g) \(3x + 5 = 2x + 10\)

Étapes de résolution : 1. Isolons \(x\) en soustrayant \(2x\) des deux côtés : \[ 3x + 5 - 2x = 2x + 10 - 2x \implies x + 5 = 10 \] 2. Soustrayons 5 des deux côtés : \[ x + 5 - 5 = 10 - 5 \implies x = 5 \]

Ensemble de solutions : \(S_2 = \{5\}\)

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Équation h) \(x - 4 = x\)

Étapes de résolution : 1. Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ x - 4 - x = x - x \implies -4 = 0 \] 2. Cette équation est impossible car \(-4\) n’est jamais égal à \(0\).

Ensemble de solutions : \(S_4 = \varnothing\)

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Équation i) \(5 = x + 8\)

Étapes de résolution : 1. Isolons \(x\) en soustrayant 8 des deux côtés : \[ 5 - 8 = x + 8 - 8 \implies -3 = x \implies x = -3 \]

Ensemble de solutions : \(S_1 = \{-3\}\)

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Équation j) \(x + 3 = x - 3\)

Étapes de résolution : 1. Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ x + 3 - x = x - 3 - x \implies 3 = -3 \] 2. Cette équation est impossible car \(3\) n’est jamais égal à \(-3\).

Ensemble de solutions : \(S_4 = \varnothing\)

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Équation k) \(4x = 0\)

Étapes de résolution : 1. Divisons les deux côtés par 4 : \[ \dfrac{4x}{4} = \dfrac{0}{4} \implies x = 0 \]

Ensemble de solutions : \(S_4 = \varnothing\)
Remarque : \(0\) n’est pas dans les ensembles donnés.

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Équation l) \(x = 2x\)

Étapes de résolution : 1. Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ x - x = 2x - x \implies 0 = x \] 2. Donc, \(x = 0\).

Ensemble de solutions : \(S_4 = \varnothing\)
Remarque : \(0\) n’est pas dans les ensembles disponibles.

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Tableau d’Association

Équation	Ensemble de solutions
a) \(x = -3\)	\(S_1\)
b) \(7 + x = 2\)	\(S_4\)
c) \(\dfrac{x}{4} = 3\)	\(S_3\)
d) \(1,2x = 6x\)	\(S_4\)
e) \(x - 7 = 0\)	\(S_4\)
f) \(x - 2 = 4\)	\(S_4\)
g) \(3x + 5 = 2x + 10\)	\(S_2\)
h) \(x - 4 = x\)	\(S_4\)
i) \(5 = x + 8\)	\(S_1\)
j) \(x + 3 = x - 3\)	\(S_4\)
k) \(4x = 0\)	\(S_4\)
l) \(x = 2x\)	\(S_4\)

Exercice 2 : Détermination des équations équivalentes

Deux équations sont dites équivalentes si elles possèdent le même ensemble de solutions.

Analysons les ensembles de solutions obtenus précédemment :

• \(S_1 = \{-3\}\) :
  • Équations : a) \(x = -3\) et i) \(5 = x + 8\)
• \(S_2 = \{5\}\) :
  • Équation : g) \(3x + 5 = 2x + 10\)
• \(S_3 = \{12\}\) :
  • Équation : c) \(\dfrac{x}{4} = 3\)
• \(S_4 = \varnothing\) :
  • Équations : b), d), e), f), h), j), k), l)

Groupes d’équations équivalentes :

1. Équations ayant pour solution \(\{-3\}\) :
   • 1. \(x = -3\)
   • 1. \(5 = x + 8\)
2. Équations sans solution dans les ensembles donnés (\(\varnothing\)) :
   • 2. \(7 + x = 2\)
   • 4. \(1,2x = 6x\)
   • 5. \(x - 7 = 0\)
   • 6. \(x - 2 = 4\)
   • 8. \(x - 4 = x\)
   • 10. \(x + 3 = x - 3\)
   • 11. \(4x = 0\)
   • 12. \(x = 2x\)
3. Équation unique avec solution \(\{5\}\) :
   • 7. \(3x + 5 = 2x + 10\)
4. Équation unique avec solution \(\{12\}\) :
   • 3. \(\dfrac{x}{4} = 3\)

Conclusion :

• Les équations a) et i) sont équivalentes car elles ont la même solution \(x = -3\).
• Les équations b), d), e), f), h), j), k), et l) n’ont aucune solution dans les ensembles donnés et sont donc équivalentes entre elles.
• Les équations c) et g) ont des solutions différentes et ne sont pas équivalentes entre elles ni avec les autres équations.