Exercice 89

Question : Pour chacun des exemples suivants, déterminez les valeurs de \(x\) qui vérifient l’égalité :

1. \(20 + x = 50\)

2. \(24x + 5 = 24 + 5x\)

3. \(7 + x = x + 9\)

4. \(x - 15 = 3x\)

5. \(0x = 100\)

6. \(4x = 18\)

7. \(54 - 18x = 30 - 3x\)

8. \(7x - 5 = x + 10\)

9. \(x = -2x\)

10. \(25 = 2x + 15\)

11. \(\frac{x}{5} = 3\)

12. \(35 + 7x = 2x - 5\)

Réponse

Réponses :

1. \(x = 30\)
   
2. \(x = 1\)
   
3. Aucune solution
   
4. \(x = -7,5\)
   
5. Aucune solution
   
6. \(x = 4,5\)
   
7. \(x = 1,6\)
   
8. \(x = 2,5\)
   
9. \(x = 0\)
   
10. \(x = 5\)
    
11. \(x = 15\)
    
12. \(x = -8\)

Corrigé détaillé

a) \(20 + x = 50\)

Pour trouver la valeur de \(x\) qui vérifie l’égalité, suivez ces étapes :

1. Comprendre l’équation : \[ 20 + x = 50 \] Cela signifie que si on ajoute \(x\) à 20, le résultat est 50.

2. Isoler \(x\) : Pour trouver \(x\), il faut se débarrasser du 20. On peut le faire en soustrayant 20 des deux côtés de l’équation. \[ 20 + x - 20 = 50 - 20 \]

3. Simplifier : \[ x = 30 \]

Réponse : \(x = 30\)

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b) \(24x + 5 = 24 + 5x\)

Pour trouver \(x\), procédons étape par étape :

1. Écrire l’équation : \[ 24x + 5 = 24 + 5x \]

2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :

   • Soustrayons \(5x\) des deux côtés : \[ 24x + 5 - 5x = 24 + 5x - 5x \] \[ 19x + 5 = 24 \]
   • Soustrayons 5 des deux côtés : \[ 19x + 5 - 5 = 24 - 5 \] \[ 19x = 19 \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{19}{19} = 1 \]

Réponse : \(x = 1\)

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c) \(7 + x = x + 9\)

Trouvons la valeur de \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ 7 + x = x + 9 \]

2. Isoler \(x\) :

   • Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ 7 + x - x = x + 9 - x \] \[ 7 = 9 \]

3. Analyser le résultat : L’équation simplifiée donne \(7 = 9\), ce qui est une affirmation fausse. Cela signifie qu’il n’y a aucune solution pour \(x\) qui vérifie l’égalité.

Réponse : Aucune solution.

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d) \(x - 15 = 3x\)

Trouvons \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ x - 15 = 3x \]

2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté :

   • Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ x - 15 - x = 3x - x \] \[ -15 = 2x \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{-15}{2} = -7,5 \]

Réponse : \(x = -7,5\)

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e) \(0x = 100\)

Analysons l’équation :

1. Écrire l’équation : \[ 0x = 100 \] Cela signifie que 0 multiplié par \(x\) donne 100.

2. Analyser la validité : Quel que soit \(x\), \(0 \times x = 0\), qui ne peut jamais être égal à 100.

Réponse : Aucune solution.

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f) \(4x = 18\)

Résolvons pour \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ 4x = 18 \]

2. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5 \]

Réponse : \(x = 4,5\)

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g) \(54 - 18x = 30 - 3x\)

Trouvons \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ 54 - 18x = 30 - 3x \]

2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :

   • Ajoutons \(18x\) des deux côtés : \[ 54 - 18x + 18x = 30 - 3x + 18x \] \[ 54 = 30 + 15x \]
   • Soustrayons 30 des deux côtés : \[ 54 - 30 = 15x \] \[ 24 = 15x \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{24}{15} = \frac{8}{5} = 1,6 \]

Réponse : \(x = 1,6\)

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h) \(7x - 5 = x + 10\)

Résolvons pour \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ 7x - 5 = x + 10 \]

2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :

   • Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ 7x - 5 - x = x + 10 - x \] \[ 6x - 5 = 10 \]
   • Ajoutons 5 des deux côtés : \[ 6x - 5 + 5 = 10 + 5 \] \[ 6x = 15 \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,5 \]

Réponse : \(x = 2,5\)

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i) \(x = -2x\)

Trouvons \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ x = -2x \]

2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté :

   • Ajoutons \(2x\) des deux côtés : \[ x + 2x = -2x + 2x \] \[ 3x = 0 \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = 0 \]

Réponse : \(x = 0\)

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j) \(25 = 2x + 15\)

Résolvons pour \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ 25 = 2x + 15 \]

2. Isoler \(2x\) :

   • Soustrayons 15 des deux côtés : \[ 25 - 15 = 2x \] \[ 10 = 2x \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{10}{2} = 5 \]

Réponse : \(x = 5\)

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k) \(\frac{x}{5} = 3\)

Trouvons \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ \frac{x}{5} = 3 \]

2. Isoler \(x\) :

   • Multiplions les deux côtés par 5 : \[ \frac{x}{5} \times 5 = 3 \times 5 \] \[ x = 15 \]

Réponse : \(x = 15\)

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l) \(35 + 7x = 2x - 5\)

Résolvons pour \(x\) :

1. Écrire l’équation : \[ 35 + 7x = 2x - 5 \]

2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre :

   • Soustrayons \(2x\) des deux côtés : \[ 35 + 7x - 2x = 2x - 5 - 2x \] \[ 35 + 5x = -5 \]
   • Soustrayons 35 des deux côtés : \[ 35 + 5x - 35 = -5 - 35 \] \[ 5x = -40 \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{-40}{5} = -8 \]

Réponse : \(x = -8\)