Question : On considère l’équation suivante :
\[ 4y + 2(7 - 3y) = 20 - (2y - 10) \]
3 est-il une solution de cette équation ?
-2 est-il une solution de cette équation ?
Testez une valeur de votre choix.
Comparez votre réponse à la question c avec celles de vos camarades. Que remarquez-vous ?
Résolvez l’équation. Combien de solutions y a-t-il ?
\[ 3(y + 4) - (y - 5) = 25 \]
Que remarquez-vous ?
La première équation \(4y + 2(7 - 3y) = 20 - (2y - 10)\) n’a aucune solution. En revanche, la deuxième équation \(3(y + 4) - (y - 5) = 25\) admet une solution unique : \(y = 4\).
Pour déterminer si \(y = 3\) est une solution de l’équation, nous allons remplacer \(y\) par 3 et vérifier si l’égalité est vérifiée.
L’équation initiale est : \[ 4y + 2(7 - 3y) = 20 - (2y - 10) \]
Substituons \(y = 3\) dans l’équation : \[ 4 \times 3 + 2(7 - 3 \times 3) = 20 - (2 \times 3 - 10) \]
Calculons chaque terme : \[ \begin{align*} 4 \times 3 &= 12 \\ 3 \times 3 &= 9 \\ 7 - 9 &= -2 \\ 2 \times (-2) &= -4 \\ 2 \times 3 &= 6 \\ 6 - 10 &= -4 \\ 20 - (-4) &= 24 \end{align*} \]
Remplaçons les résultats dans l’équation : \[ 12 + (-4) = 24 \] \[ 8 = 24 \]
Comme \(8 \neq 24\), cela signifie que \(y = 3\) n’est pas une solution de l’équation.
Vérifions si \(y = -2\) satisfait l’équation en remplaçant \(y\) par -2.
L’équation initiale est : \[ 4y + 2(7 - 3y) = 20 - (2y - 10) \]
Substituons \(y = -2\) : \[ 4 \times (-2) + 2(7 - 3 \times (-2)) = 20 - (2 \times (-2) - 10) \]
Calculons chaque terme : \[ \begin{align*} 4 \times (-2) &= -8 \\ -3 \times (-2) &= 6 \\ 7 + 6 &= 13 \\ 2 \times 13 &= 26 \\ 2 \times (-2) &= -4 \\ -4 - 10 &= -14 \\ 20 - (-14) &= 34 \end{align*} \]
Remplaçons les résultats dans l’équation : \[ -8 + 26 = 34 \] \[ 18 = 34 \]
Comme \(18 \neq 34\), \(y = -2\) n’est pas une solution de l’équation.
Choisissons la valeur \(y = 2\) et vérifions si elle est une solution.
L’équation initiale est : \[ 4y + 2(7 - 3y) = 20 - (2y - 10) \]
Substituons \(y = 2\) : \[ 4 \times 2 + 2(7 - 3 \times 2) = 20 - (2 \times 2 - 10) \]
Calculons chaque terme : \[ \begin{align*} 4 \times 2 &= 8 \\ 3 \times 2 &= 6 \\ 7 - 6 &= 1 \\ 2 \times 1 &= 2 \\ 2 \times 2 &= 4 \\ 4 - 10 &= -6 \\ 20 - (-6) &= 26 \end{align*} \]
Remplaçons les résultats dans l’équation : \[ 8 + 2 = 26 \] \[ 10 = 26 \]
Comme \(10 \neq 26\), \(y = 2\) n’est pas une solution de l’équation.
Après avoir testé différentes valeurs pour \(y\) (comme 3, -2 et 2), aucune n’a permis de satisfaire l’équation, c’est-à-dire que les deux côtés de l’équation ne sont pas égaux. Cela suggère qu’il pourrait y avoir une solution précise à l’équation que nous n’avons pas encore identifiée en testant des valeurs aléatoires.
Résolvons l’équation algébriquement pour trouver la ou les solutions.
L’équation initiale est : \[ 4y + 2(7 - 3y) = 20 - (2y - 10) \]
Étape 1 : Développer les parenthèses \[ \begin{align*} 4y + 2 \times 7 - 2 \times 3y &= 20 - 2y + 10 \\ 4y + 14 - 6y &= 30 - 2y \end{align*} \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires \[ (4y - 6y) + 14 = 30 - 2y \] \[ -2y + 14 = 30 - 2y \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(y\) Ajoutons \(2y\) des deux côtés pour éliminer le terme en \(y\) du côté gauche : \[ -2y + 2y + 14 = 30 - 2y + 2y \] \[ 14 = 30 \]
Conclusion : L’équation réduit à \(14 = 30\), ce qui est une affirmation fausse. Cela signifie qu’il n’existe aucune solution à cette équation. En d’autres termes, l’équation n’a pas de solution.
Considérons l’équation suivante : \[ 3(y + 4) - (y - 5) = 25 \]
Étape 1 : Développer les parenthèses \[ 3y + 12 - y + 5 = 25 \]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires \[ (3y - y) + (12 + 5) = 25 \] \[ 2y + 17 = 25 \]
Étape 3 : Isoler \(y\) Soustrayons 17 des deux côtés : \[ 2y = 8 \]
Divisons par 2 : \[ y = 4 \]
Remarque : Cette équation admet une unique solution \(y = 4\).
En résolvant les deux équations : 1. La première équation \(4y + 2(7 - 3y) = 20 - (2y - 10)\) n’a pas de solution. 2. La deuxième équation \(3(y + 4) - (y - 5) = 25\) a une solution unique, \(y = 4\).
Cela montre que certaines équations peuvent ne pas avoir de solution, tandis que d’autres en ont une ou plusieurs.