Question : Considère l’équation
\[\frac{3y}{5} + 4 = \frac{2y}{3} + \frac{3}{4}.\]
Écris tous les termes des deux membres avec un même dénominateur.
Résous l’équation obtenue.
La solution de l’équation est \(y = 48{,}75\).
Considérons l’équation suivante :
\[\frac{3y}{5} + 4 = \frac{2y}{3} + \frac{3}{4}.\]
Nous allons résoudre cet exercice en deux parties.
Étape 1 : Identifier les dénominateurs.
Les termes fractionnaires de l’équation ont les dénominateurs suivants :
Nous devons trouver le plus petit dénominateur commun (PDC) pour ces dénominateurs afin de réécrire toutes les fractions avec le même dénominateur.
Étape 2 : Trouver le plus petit dénominateur commun (PDC).
Les dénominateurs sont 5, 3 et 4.
Le PDC de 5, 3 et 4 est le plus petit nombre qui est un multiple de chacun de ces nombres.
Calculons :
Le premier nombre commun à tous les multiples est 60.
Donc, le PDC est 60.
Étape 3 : Réécrire chaque terme avec le dénominateur 60.
Pour \(\frac{3y}{5}\) :
Multiplions le numérateur et le dénominateur par \(\frac{60}{5} = 12\).
\[ \frac{3y}{5} = \frac{3y \times 12}{5 \times 12} = \frac{36y}{60} \]
Pour \(4\) :
Écrivons 4 comme une fraction avec le dénominateur 60.
\[ 4 = \frac{4 \times 60}{60} = \frac{240}{60} \]
Pour \(\frac{2y}{3}\) :
Multiplions le numérateur et le dénominateur par \(\frac{60}{3} = 20\).
\[ \frac{2y}{3} = \frac{2y \times 20}{3 \times 20} = \frac{40y}{60} \]
Pour \(\frac{3}{4}\) :
Multiplions le numérateur et le dénominateur par \(\frac{60}{4} = 15\).
\[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 15}{4 \times 15} = \frac{45}{60} \]
Résultat de la partie a :
L’équation réécrite avec le dénominateur commun 60 est :
\[ \frac{36y}{60} + \frac{240}{60} = \frac{40y}{60} + \frac{45}{60} \]
Nous partons de l’équation réécrite avec le dénominateur commun :
\[ \frac{36y}{60} + \frac{240}{60} = \frac{40y}{60} + \frac{45}{60} \]
Étape 1 : Simplifier l’équation.
Puisque tous les termes ont le même dénominateur, nous pouvons écrire :
\[ 36y + 240 = 40y + 45 \]
Étape 2 : Regrouper les termes en \(y\) d’un côté et les constantes de l’autre côté.
Soustrayons \(36y\) des deux côtés :
\[ 240 = 4y + 45 \]
Soustrayons 45 des deux côtés :
\[ 240 - 45 = 4y \]
\[ 195 = 4y \]
Étape 3 : Isoler \(y\).
Divisons les deux côtés par 4 :
\[ y = \frac{195}{4} \]
\[ y = 48,75 \]
Conclusion :
La solution de l’équation est \(y = 48,75\).
Pour s’assurer que notre solution est correcte, substituons \(y = 48,75\) dans l’équation initiale.
\[ \frac{3 \times 48,75}{5} + 4 = \frac{2 \times 48,75}{3} + \frac{3}{4} \]
Calculons chaque terme :
Les deux côtés de l’équation donnent 33,25, ce qui confirme que la solution \(y = 48,75\) est correcte.