Exercice 79

Question : Lors d’une conférence internationale, \(\frac{5}{12}\) des participants étaient des étudiants et \(\frac{3}{8}\) étaient des chercheurs. 420 participants n’étaient ni étudiants ni chercheurs.

1. Combien y avait-il de chercheurs ?
2. Combien y avait-il de participants au total ?

Réponse

1. Il y avait 756 chercheurs.
2. Il y avait 2016 participants au total.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé :

Lors d’une conférence internationale, \(\frac{5}{12}\) des participants étaient des étudiants et \(\frac{3}{8}\) étaient des chercheurs. 420 participants n’étaient ni étudiants ni chercheurs.

1. Combien y avait-il de chercheurs ?
2. Combien y avait-il de participants au total ?

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Question 1 : Combien y avait-il de chercheurs ?

Étape 1 : Comprendre les proportions

• Étudiants : \(\frac{5}{12}\) des participants.
• Chercheurs : \(\frac{3}{8}\) des participants.
• Autres participants : 420 (ni étudiants ni chercheurs).

Étape 2 : Déterminer le nombre total de participants

Pour résoudre cette question, il est plus simple de d’abord trouver le nombre total de participants, puis utiliser cette information pour déterminer le nombre de chercheurs.

Soit \(N\) le nombre total de participants.

On sait que la somme des proportions des étudiants, des chercheurs et des autres participants est égale au nombre total de participants :

\[ \frac{5}{12}N + \frac{3}{8}N + 420 = N \]

Étape 3 : Résoudre l’équation pour \(N\)

1. Trouvons un dénominateur commun pour additionner les fractions. Le plus petit commun multiple de 12 et 8 est 24.

\[ \frac{5}{12}N = \frac{10}{24}N \] \[ \frac{3}{8}N = \frac{9}{24}N \]

2. Réécrivons l’équation avec le dénominateur commun :

\[ \frac{10}{24}N + \frac{9}{24}N + 420 = N \]

3. Additionnons les fractions :

\[ \frac{19}{24}N + 420 = N \]

4. Isolons la variable \(N\) :

\[ 420 = N - \frac{19}{24}N \] \[ 420 = \frac{24}{24}N - \frac{19}{24}N \] \[ 420 = \frac{5}{24}N \]

5. Résolvons pour \(N\) :

\[ N = \frac{420 \times 24}{5} = \frac{10080}{5} = 2016 \]

Étape 4 : Déterminer le nombre de chercheurs

Maintenant que nous connaissons le nombre total de participants (\(N = 2016\)), nous pouvons trouver le nombre de chercheurs.

\[ \text{Nombre de chercheurs} = \frac{3}{8} \times 2016 \] \[ = \frac{3 \times 2016}{8} = \frac{6048}{8} = 756 \]

Réponse : Il y avait 756 chercheurs.

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Question 2 : Combien y avait-il de participants au total ?

Comme calculé précédemment, le nombre total de participants est :

\[ N = 2016 \]

Réponse : Il y avait 2016 participants au total.