Exercice 77

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(\frac{3 x-4}{5}-\frac{1}{5} \leq \frac{2 x+3}{10}-\frac{2}{5}\)
   
2. \(\frac{3 x-(-2 x+1)}{3}-\frac{1}{4} \geq \frac{2 x-(-3 x+4)}{3}-\frac{1}{4}\)
   
3. \(\frac{5 x-3}{2}-\frac{2 x-4}{5}-\frac{1}{10} \leq \frac{2 x+1}{5}+\frac{3 x-4}{10}-\frac{1}{2}\)
   
4. \(4 x-5 \cdot(2 x-4)-3 x+1 \geq 5 x-2 \cdot\left(-3 x-\frac{1}{2}\right)\)
   
5. \(\frac{5 x+4}{12}+\frac{1}{3}>3 x-5-\frac{4 x-2}{3}\)
   
6. \(-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{2 x-2}{3}-1\right)-\frac{1}{6} \leq \frac{1}{4} x-\frac{1}{3} \cdot\left(\frac{x-2}{2}-\frac{1}{6}\right)\)

Réponse

Résumé des solutions :

1. x ≤ 9/4
   
2. x ∈ ℝ
   
3. x ≤ 1/14
   
4. x ≤ 1
   
5. x < 4
   
6. x ≥ 2/3

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des inéquations.

────────────────────────────── Exercice 1) Inéquation : (3x – 4)/5 – 1/5 ≤ (2x + 3)/10 – 2/5

1. Regroupons les termes du côté gauche :
     (3x – 4)/5 – 1/5 = (3x – 4 – 1)/5 = (3x – 5)/5.

2. Simplifions le côté droit. Pour la fraction (2x + 3)/10, remarquons que 2/5 peut être écrit avec le dénominateur 10 :
     2/5 = 4/10.
     Ainsi, (2x + 3)/10 – 2/5 = (2x + 3 – 4)/10 = (2x – 1)/10.

3. L’inéquation devient donc :
     (3x – 5)/5 ≤ (2x – 1)/10.

4. Pour se débarrasser des dénominateurs, multiplions chaque côté par 10 (nombre positif, pas de changement de sens) :
     10 × [(3x – 5)/5] ≤ 10 × [(2x – 1)/10]
     => 2(3x – 5) ≤ 2x – 1.
     Cela se simplifie en : 6x – 10 ≤ 2x – 1.

5. Isolons la variable x :
     - Soustrayons 2x de chaque côté : 6x – 2x – 10 ≤ –1 → 4x – 10 ≤ –1
     - Ajoutons 10 à chaque côté : 4x ≤ 9
     - Divisons par 4 (nombre positif) : x ≤ 9/4.

La solution de la première inéquation est donc :
  x ≤ 9/4.

────────────────────────────── Exercice 2) Inéquation : [3x – (–2x + 1)]/3 – 1/4 ≥ [2x – (–3x + 4)]/3 – 1/4

1. Simplifions les expressions dans les parenthèses :
     – Pour le numérateur de la première fraction : 3x – (–2x + 1) = 3x + 2x – 1 = 5x – 1.
     – Pour le numérateur de la deuxième fraction : 2x – (–3x + 4) = 2x + 3x – 4 = 5x – 4.

2. L’inéquation s’écrit alors :
     (5x – 1)/3 – 1/4 ≥ (5x – 4)/3 – 1/4.

3. On remarque que de chaque côté on soustrait 1/4. En ajoutant 1/4 aux deux membres, on obtient :
     (5x – 1)/3 ≥ (5x – 4)/3.

4. Multiplions ensuite chaque côté par 3 (positif) pour éliminer le dénominateur :
     5x – 1 ≥ 5x – 4.

5. En soustrayant 5x des deux côtés, on a :
     –1 ≥ –4.
     Cette inégalité est vraie quelle que soit la valeur de x.

La solution de l’inéquation est donc :
  x ∈ ℝ (tout réel).

────────────────────────────── Exercice 3) Inéquation : (5x – 3)/2 – (2x – 4)/5 – 1/10 ≤ (2x + 1)/5 + (3x – 4)/10 – 1/2

1. Commençons par mettre au même dénominateur les termes des deux côtés de l’inéquation.

• Côté gauche :
  – Convertissons (5x – 3)/2 en dénominateur 10 :
   (5x – 3)/2 = (5(5x – 3))/10 = (25x – 15)/10.
  – Convertissons (2x – 4)/5 en dénominateur 10 :
   (2x – 4)/5 = (2(2x – 4))/10 = (4x – 8)/10.
  – On a aussi – 1/10.
  Ainsi, le côté gauche devient :
   [(25x – 15) – (4x – 8) – 1] / 10.
  Développons : 25x – 15 – 4x + 8 – 1 = 21x – 8.
  Donc, côté gauche = (21x – 8)/10.

• Côté droit :
  – Convertissons (2x + 1)/5 en dénominateur 10 :
   (2x + 1)/5 = (2(2x + 1))/10 = (4x + 2)/10.
  – Le deuxième terme est (3x – 4)/10.
  – Enfin, –1/2 = –5/10.
  Ainsi, le côté droit devient :
   [(4x + 2) + (3x – 4) – 5] / 10.
  Développons : 4x + 2 + 3x – 4 – 5 = 7x – 7.
  Donc, côté droit = (7x – 7)/10.

2. L’inéquation s’écrit alors :
     (21x – 8)/10 ≤ (7x – 7)/10.

3. Multiplions chaque côté par 10 (positif) :
     21x – 8 ≤ 7x – 7.

4. Résolvons pour x :
     – Soustrayons 7x de chaque côté : 14x – 8 ≤ –7
     – Ajoutons 8 : 14x ≤ 1
     – Divisons par 14 : x ≤ 1/14.

La solution de l’inéquation est donc :
  x ≤ 1/14.

────────────────────────────── Exercice 4) Inéquation : 4x – 5·(2x – 4) – 3x + 1 ≥ 5x – 2·(–3x – 1/2)

1. Développons chaque côté :

• Côté gauche :
  Calculons 5·(2x – 4) = 10x – 20.
  Ensuite, 4x – (10x – 20) – 3x + 1 = 4x – 10x + 20 – 3x + 1 = (4x – 10x – 3x) + (20 + 1) = –9x + 21.

• Côté droit :
  Calculons –2·(–3x – 1/2).
  Remarquons que –2 × (–3x) = 6x et –2 × (–1/2) = 1.
  Ainsi, 5x + 6x + 1 = 11x + 1.

2. L’inéquation devient :
     –9x + 21 ≥ 11x + 1.

3. Isolons x :
     – Ajoutons 9x aux deux côtés : 21 ≥ 20x + 1
     – Soustrayons 1 : 20 ≥ 20x
     – Divisons par 20 : x ≤ 1.

La solution de l’inéquation est donc :
  x ≤ 1.

────────────────────────────── Exercice 5) Inéquation : (5x + 4)/12 + 1/3 > 3x – 5 – (4x – 2)/3

1. Simplifions chaque côté :

• Côté gauche :
  1/3 se met sous le dénominateur 12 en écrivant 1/3 = 4/12.
  On a alors : (5x + 4)/12 + 4/12 = (5x + 4 + 4)/12 = (5x + 8)/12.

• Côté droit :
  Exprimons 3x – 5 avec le dénominateur 3. On a : 3x – 5 = (9x – 15)/3.
  Ainsi,
   3x – 5 – (4x – 2)/3 = [9x – 15 – (4x – 2)] / 3
   = (9x – 15 – 4x + 2) / 3 = (5x – 13)/3.

2. L’inéquation devient :
     (5x + 8)/12 > (5x – 13)/3.

3. Pour éliminer les dénominateurs, multiplions chaque côté par 12 (positif) :
     5x + 8 > 12/3 · (5x – 13).
     Or 12/3 = 4, donc : 5x + 8 > 4·(5x – 13) = 20x – 52.

4. Isolons x :
     – Soustrayons 5x : 8 > 15x – 52
     – Ajoutons 52 : 60 > 15x
     – Divisons par 15 : x < 4.

La solution de l’inéquation est donc :
  x < 4.

────────────────────────────── Exercice 6) Inéquation : –½·[(2x – 2)/3 – 1] – 1/6 ≤ (1/4)x – 1/3·[(x – 2)/2 – 1/6]

1. Simplifions le côté gauche :
     D’abord, calculons l’expression dans la parenthèse :
      (2x – 2)/3 – 1.
     Remarquons que 1 = 3/3, donc :
      (2x – 2 – 3)/3 = (2x – 5)/3.
     Le côté gauche devient alors :
      –½ · [(2x – 5)/3] – 1/6 = –(2x – 5)/(6) – 1/6.
     Réunissons les deux termes :
      –[(2x – 5) + 1] / 6 = –(2x – 4)/6.
     On remarque que 2x – 4 = 2(x – 2) :
      donc –(2(x – 2))/6 = –(x – 2)/3.

2. Simplifions le côté droit :
     Il s’agit de : (1/4)x – 1/3·[(x – 2)/2 – 1/6].
     Commençons par simplifier l’expression dans la parenthèse :
      (x – 2)/2 – 1/6.
     Pour combiner ces deux termes, mettons-les au même dénominateur (6) :
      (x – 2)/2 = 3(x – 2)/6.
     Ainsi,
      [3(x – 2) – 1] / 6 = (3x – 6 – 1)/6 = (3x – 7)/6.   Le côté droit devient alors :
      (1/4)x – 1/3·[(3x – 7)/6] = (1/4)x – (3x – 7)/(18).

3. Pour combiner les deux termes du côté droit, mettons-les sous un même dénominateur. Choisissons 36 comme dénominateur commun :
     – (1/4)x = (9x)/36,
     – (3x – 7)/(18) = (2(3x – 7))/36 = (6x – 14)/36.   Ainsi, le côté droit s’exprime sous la forme :
      (9x – (6x – 14)) / 36 = (9x – 6x + 14)/36 = (3x + 14)/36.

4. L’inéquation se réduit donc à :
     –(x – 2)/3 ≤ (3x + 14)/36.

5. Pour se débarrasser des dénominateurs, multiplions chaque côté par 36 (positif) :
     36 · [–(x – 2)/3] ≤ 3x + 14
     => –12(x – 2) ≤ 3x + 14.

6. Développons la partie gauche :
     –12x + 24 ≤ 3x + 14.

7. Isolons x :
     – Ajoutons 12x aux deux côtés : 24 ≤ 15x + 14
     – Soustrayons 14 : 10 ≤ 15x
     – Divisons par 15 : x ≥ 10/15
     Simplifions 10/15 = 2/3.

La solution de l’inéquation est donc :
  x ≥ 2/3.

────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :

1. x ≤ 9/4
   
2. x ∈ ℝ (tous les réels)
   
3. x ≤ 1/14
   
4. x ≤ 1
   
5. x < 4
   
6. x ≥ 2/3

Chaque étape a permis de transformer les expressions pas à pas pour isoler la variable x. Ces méthodes (mettre au même dénominateur, développer, regrouper les termes, et multiplier par un nombre positif) sont essentielles pour résoudre des inéquations de manière rigoureuse.