Exercice 76
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(2(2x - 4) \leq 5x - (-2x + 3)\)
- \(5(-x + 3) - 2(x - 4) \leq 3(5x - 2) + 7\)
- \(3(2x - 5) - 5x < 2(-3x + 2) - 5\)
- \(5(x - 2) + 3x - 3(2x - 4 + x) > 0\)
- \(5(-2x - 3) \leq 3(x + 9) - 27 + 2x\)
- \(5(5x - 4) - 12 > 3(-5x + 3) - 1\)
Réponse
Résumé des solutions :
- \(x \geq -\frac{5}{3}\)
- \(x \geq 1\)
- \(x < 2\)
- \(x < 2\)
- \(x \geq -1\)
- \(x > 1\)
Corrigé détaillé
Correction des Inéquations
1. Résoudre \(2(2x - 4) \leq 5x - (-2x + 3)\)
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 2(2x - 4) = 4x - 8 \] \[ -(-2x + 3) = 2x - 3 \]
L’inéquation devient : \[ 4x - 8 \leq 5x + 2x - 3 \]
Étape 2 : Simplifier les termes similaires
\[ 5x + 2x = 7x \]
Donc : \[ 4x - 8 \leq 7x - 3 \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre
Soustrayons \(4x\) des deux côtés : \[ -8 \leq 3x - 3 \]
Ajoutons \(3\) des deux côtés : \[ -5 \leq 3x \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par \(3\) : \[ \frac{-5}{3} \leq x \] \[ x \geq \frac{-5}{3} \]
Solution : \[ x \geq -\frac{5}{3} \]
2. Résoudre \(5(-x + 3) - 2(x - 4) \leq 3(5x - 2) + 7\)
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 5(-x + 3) = -5x + 15 \] \[ -2(x - 4) = -2x + 8 \] \[ 3(5x - 2) = 15x - 6 \]
L’inéquation devient : \[ -5x + 15 - 2x + 8 \leq 15x - 6 + 7 \]
Étape 2 : Simplifier les termes similaires
Gauche : \[ -5x - 2x = -7x \] \[ 15 + 8 = 23 \] Donc : \[ -7x + 23 \leq 15x + 1 \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre
Ajoutons \(7x\) des deux côtés : \[ 23 \leq 22x + 1 \]
Soustrayons \(1\) des deux côtés : \[ 22 \leq 22x \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par \(22\) : \[ 1 \leq x \] \[ x \geq 1 \]
Solution : \[ x \geq 1 \]
3. Résoudre \(3(2x - 5) - 5x < 2(-3x + 2) - 5\)
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 3(2x - 5) = 6x - 15 \] \[ 2(-3x + 2) = -6x + 4 \]
L’inéquation devient : \[ 6x - 15 - 5x < -6x + 4 - 5 \]
Étape 2 : Simplifier les termes similaires
Gauche : \[ 6x - 5x = x \] \[ -15 \] Donc : \[ x - 15 < -6x - 1 \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre
Ajoutons \(6x\) des deux côtés : \[ 7x - 15 < -1 \]
Ajoutons \(15\) des deux côtés : \[ 7x < 14 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par \(7\) : \[ x < 2 \]
Solution : \[ x < 2 \]
4. Résoudre \(5(x - 2) + 3x - 3(2x - 4 + x) > 0\)
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 5(x - 2) = 5x - 10 \] \[ 3(2x - 4 + x) = 3(3x - 4) = 9x - 12 \]
L’inéquation devient : \[ 5x - 10 + 3x - (9x - 12) > 0 \]
Étape 2 : Simplifier les termes similaires
Combinez les termes : \[ 5x + 3x - 9x = -x \] \[ -10 + 12 = 2 \] Donc : \[ -x + 2 > 0 \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Soustrayons \(2\) des deux côtés : \[ -x > -2 \]
Multipliant par \(-1\) (et en inversant le sens de l’inégalité) : \[ x < 2 \]
Solution : \[ x < 2 \]
5. Résoudre \(5(-2x - 3) \leq 3(x + 9) - 27 + 2x\)
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 5(-2x - 3) = -10x - 15 \] \[ 3(x + 9) = 3x + 27 \]
L’inéquation devient : \[ -10x - 15 \leq 3x + 27 - 27 + 2x \]
Étape 2 : Simplifier les termes similaires
Droite : \[ 3x + 2x = 5x \] \[ 27 - 27 = 0 \] Donc : \[ -10x - 15 \leq 5x \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre
Ajoutons \(10x\) des deux côtés : \[ -15 \leq 15x \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par \(15\) : \[ -\frac{15}{15} \leq x \] \[ -1 \leq x \] \[ x \geq -1 \]
Solution : \[ x \geq -1 \]
6. Résoudre \(5(5x - 4) - 12 > 3(-5x + 3) - 1\)
Étape 1 : Développer les parenthèses
\[ 5(5x - 4) = 25x - 20 \] \[ 3(-5x + 3) = -15x + 9 \]
L’inéquation devient : \[ 25x - 20 - 12 > -15x + 9 - 1 \]
Étape 2 : Simplifier les termes similaires
Gauche : \[ 25x - 20 - 12 = 25x - 32 \] Droite : \[ -15x + 9 - 1 = -15x + 8 \] Donc : \[ 25x - 32 > -15x + 8 \]
Étape 3 : Isoler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre
Ajoutons \(15x\) des deux côtés : \[ 40x - 32 > 8 \]
Ajoutons \(32\) des deux côtés : \[ 40x > 40 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par \(40\) : \[ x > 1 \]
Solution : \[ x > 1 \]