Exercice 75
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(-3 \geq -2x + 1\)
- \(2(x + 3) \leq 5\)
- \(2x + 3 \leq 5\)
- \(\frac{1}{2}x < \frac{3}{2}x - 2\)
- \(5x + 1 \geq 3x\)
- \(4x \leq \frac{1}{2}x\)
Réponse
Résumé des solutions :
- \(x \geq 2\)
- \(x \leq -\dfrac{1}{2}\)
- \(x \leq 1\)
- \(x > 2\)
- \(x \geq -\dfrac{1}{2}\)
- \(x \leq 0\)
Chaque inéquation a été résolue en isolant \(x\) et en appliquant les règles des inégalités.
Corrigé détaillé
Correction des inéquations
Nous allons résoudre chacune des inéquations une par une en suivant des étapes claires et précises.
1. \(-3 \geq -2x + 1\)
Étape 1 : Isoler le terme contenant \(x\)
Pour isoler \(-2x\), on commence par soustraire 1 des deux côtés de l’inéquation :
\[ -3 - 1 \geq -2x + 1 - 1 \]
Ce qui donne :
\[ -4 \geq -2x \]
Étape 2 : Résoudre pour \(x\)
Pour isoler \(x\), on divise les deux côtés par \(-2\). N’oublions pas que diviser ou multiplier une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.
\[ \frac{-4}{-2} \leq x \]
Cela simplifie à :
\[ 2 \leq x \]
Conclusion
La solution de l’inéquation est :
\[ x \geq 2 \]
2. \(2(x + 3) \leq 5\)
Étape 1 : Développer l’expression
Distribuons le 2 dans la parenthèse :
\[ 2 \cdot x + 2 \cdot 3 \leq 5 \]
Ce qui donne :
\[ 2x + 6 \leq 5 \]
Étape 2 : Isoler le terme contenant \(x\)
Soustrayons 6 des deux côtés :
\[ 2x + 6 - 6 \leq 5 - 6 \]
Cela simplifie à :
\[ 2x \leq -1 \]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par 2 :
\[ x \leq \frac{-1}{2} \]
Conclusion
La solution de l’inéquation est :
\[ x \leq -\frac{1}{2} \]
3. \(2x + 3 \leq 5\)
Étape 1 : Isoler le terme contenant \(x\)
Soustrayons 3 des deux côtés :
\[ 2x + 3 - 3 \leq 5 - 3 \]
Ce qui donne :
\[ 2x \leq 2 \]
Étape 2 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par 2 :
\[ x \leq \frac{2}{2} \]
Cela simplifie à :
\[ x \leq 1 \]
Conclusion
La solution de l’inéquation est :
\[ x \leq 1 \]
4. \(\frac{1}{2}x < \frac{3}{2}x - 2\)
Étape 1 : Isoler les termes contenant \(x\) d’un côté
Soustrayons \(\frac{1}{2}x\) des deux côtés :
\[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x < \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}x - 2 \]
Ce qui donne :
\[ 0 < x - 2 \]
Étape 2 : Isoler \(x\)
Ajoutons 2 des deux côtés :
\[ 0 + 2 < x - 2 + 2 \]
Cela simplifie à :
\[ 2 < x \]
Conclusion
La solution de l’inéquation est :
\[ x > 2 \]
5. \(5x + 1 \geq 3x\)
Étape 1 : Isoler les termes contenant \(x\) d’un côté
Soustrayons \(3x\) des deux côtés :
\[ 5x + 1 - 3x \geq 3x - 3x \]
Ce qui donne :
\[ 2x + 1 \geq 0 \]
Étape 2 : Isoler \(x\)
Soustrayons 1 des deux côtés :
\[ 2x + 1 - 1 \geq 0 - 1 \]
Cela simplifie à :
\[ 2x \geq -1 \]
Étape 3 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par 2 :
\[ x \geq \frac{-1}{2} \]
Conclusion
La solution de l’inéquation est :
\[ x \geq -\frac{1}{2} \]
6. \(4x \leq \frac{1}{2}x\)
Étape 1 : Isoler les termes contenant \(x\) d’un côté
Soustrayons \(\frac{1}{2}x\) des deux côtés :
\[ 4x - \frac{1}{2}x \leq \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}x \]
Ce qui donne :
\[ \frac{7}{2}x \leq 0 \]
Étape 2 : Résoudre pour \(x\)
Divisons les deux côtés par \(\frac{7}{2}\). Comme \(\frac{7}{2}\) est positif, le sens de l’inégalité reste le même.
\[ x \leq 0 \]
Conclusion
La solution de l’inéquation est :
\[ x \leq 0 \]
Résumé des solutions
- \(x \geq 2\)
- \(x \leq -\dfrac{1}{2}\)
- \(x \leq 1\)
- \(x > 2\)
- \(x \geq -\dfrac{1}{2}\)
- \(x \leq 0\)
Chaque inéquation a été résolue étape par étape en isolant le terme contenant la variable \(x\) et en appliquant les opérations nécessaires tout en respectant les règles des inégalités.