Un nombre à deux chiffres, dont les chiffres sont consécutifs, est supérieur de \(1\) au quintuple de la somme de ses chiffres. Quel est ce nombre ?
Le nombre recherché est 56.
Soit un nombre à deux chiffres, où le chiffre des unités et le chiffre des dizaines sont consécutifs (c’est-à-dire que l’un est exactement de 1 près de l’autre). On nous dit que ce nombre est supérieur de 1 au quintuple de la somme de ses chiffres.
Étape 1 : Représentation du nombre et des chiffres
Notons le chiffre des dizaines par a et le chiffre des unités par b. Le
nombre s’écrit alors 10a + b.
On sait que les deux chiffres sont consécutifs. Il y a deux possibilités
:
• b = a + 1
• ou b = a - 1
Étape 2 : Traduction de l’énoncé en équation
L’énoncé nous indique que le nombre est supérieur de 1 au quintuple de
la somme de ses chiffres. Cela se traduit par l’équation suivante
:
10a + b = 5(a + b) + 1
Étape 3 : Simplification de l’équation
Développons et simplifions :
10a + b = 5a + 5b + 1
On regroupe les termes contenant a et b :
10a - 5a = 5b - b + 1
Cela donne :
5a = 4b + 1
On peut écrire cette équation sous la forme :
5a - 4b = 1
Étape 4 : Étude des cas possibles pour les chiffres consécutifs
Cas 1 : Supposons que b = a + 1
Substituons cette expression dans l’équation 5a - 4b = 1 :
5a - 4(a + 1) = 1
Développons :
5a - 4a - 4 = 1
Ce qui simplifie à :
a - 4 = 1
D’où :
a = 5
Alors, b = a + 1 = 5 + 1 = 6
Le nombre est donc 10 × 5 + 6 = 56.
Cas 2 : Supposons que b = a - 1
Substituons b = a - 1 dans l’équation :
5a - 4(a - 1) = 1
Développons :
5a - 4a + 4 = 1
Cela donne :
a + 4 = 1
D’où :
a = -3
Or, a doit être un chiffre (compris entre 1 et 9), donc ce cas est
impossible.
Étape 5 : Conclusion
La seule solution possible est trouvée dans le Cas 1 :
a = 5 et b = 6, ce qui donne le nombre 56.
Vérification :
La somme des chiffres est 5 + 6 = 11.
Le quintuple de cette somme est 5 × 11 = 55.
Ajoutons 1 : 55 + 1 = 56, ce qui correspond bien au nombre.
Ainsi, le nombre recherché est 56.