Katia va faire des achats en ville. Lors de son premier achat, elle dépense 10 fr. de moins que la moitié de son porte-monnaie. Son second achat lui coûte 30 fr. de plus que le tiers de son montant initial. À son retour, elle constate qu’il lui reste le dixième de la somme qu’elle avait au départ. Combien d’argent avait-elle ?
Katia avait 300 francs au départ.
Pour résoudre ce problème, nous allons suivre une démarche étape par étape en utilisant des expressions mathématiques claires.
Étape 1 : Définir la variable inconnue
Soit \(x\) le montant initial (en francs) que Katia possède.
Étape 2 : Exprimer les dépenses
Premier achat :
Katia dépense 10 francs de moins que la moitié de son porte-monnaie.
\[ \text{Premier achat} = \frac{1}{2}x - 10 \]
Second achat :
Katia dépense 30 francs de plus que le tiers de son montant initial.
\[ \text{Second achat} = \frac{1}{3}x + 30 \]
Étape 3 : Exprimer le montant restant
Après ses achats, il lui reste le dixième de la somme initiale.
\[ \text{Montant restant} = \frac{1}{10}x \]
Étape 4 : Établir l’équation globale
Le montant initial est égal à la somme des dépenses et du montant restant.
\[ \text{Premier achat} + \text{Second achat} + \text{Montant restant} = x \]
En remplaçant par les expressions définies :
\[ \left( \frac{1}{2}x - 10 \right) + \left( \frac{1}{3}x + 30 \right) + \frac{1}{10}x = x \]
Étape 5 : Simplifier l’équation
Additionnons les termes similaires :
\[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{10}x - 10 + 30 = x \]
Calculons les coefficients de \(x\) en trouvant un dénominateur commun, qui est 30 :
\[ \frac{15}{30}x + \frac{10}{30}x + \frac{3}{30}x + 20 = x \]
Additionnons les fractions :
\[ \frac{28}{30}x + 20 = x \]
Simplifions la fraction :
\[ \frac{14}{15}x + 20 = x \]
Étape 6 : Isoler la variable \(x\)
Soustrayons \(\frac{14}{15}x\) des deux côtés de l’équation :
\[ 20 = x - \frac{14}{15}x \]
\[ 20 = \frac{1}{15}x \]
Étape 7 : Résoudre pour \(x\)
Multiplions les deux côtés par 15 pour isoler \(x\) :
\[ 20 \times 15 = x \]
\[ x = 300 \]
Conclusion :
Katia possédait 300 francs au départ.