Résoudre les équations suivantes :
\[ \frac{2x - 3}{3} = \frac{3x + 1}{2} \]
\[ \frac{x}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 4} - \frac{2x - 1}{2x + 3} = \frac{2x + 5}{2x + 1} \]
\[ \frac{4}{2x - 4} = \frac{3}{x - 5} \]
\[ \frac{5}{2x - 1} = \frac{2x + 1}{3} \]
\[ \frac{x - 1}{2x - 1} = -\frac{1}{2} \]
Exercice 1 : x = –9/5
Exercice 2 : Aucune solution
Exercice 3 : x = –4
Exercice 4 : x = 2 ou x = –2
Exercice 5 : x = 3/4
Nous allons résoudre chacune des équations pas à pas. Pour chaque question, nous indiquerons les opérations réalisées et préciserons les restrictions éventuelles (valeurs interdites pour lesquelles un dénominateur serait nul).
────────────────────────────── Exercice 1. Résoudre (2x – 3)/3 = (3x + 1)/2
Identifier les dénominateurs qui posent problème. Ici, 3 et 2 sont des constantes non nulles, donc aucune restriction sur x.
Pour éliminer les fractions, on multiplie chaque membre de l’équation par le PPCM des dénominateurs, ici 6 (car 6 est un multiple de 3 et 2) : 6 × (2x – 3)/3 = 6 × (3x + 1)/2
On calcule : – À gauche : 6/3 = 2, donc 2(2x – 3) = 4x – 6. – À droite : 6/2 = 3, donc 3(3x + 1) = 9x + 3.
L’équation devient : 4x – 6 = 9x + 3
Pour résoudre, on regroupe les x d’un côté et les constantes de l’autre : 4x – 6 – 9x = 3 ⇒ –5x – 6 = 3
Ajouter 6 des deux côtés : –5x = 9
Diviser par –5 : x = 9/(-5) = –9/5
Donc, la solution de la première équation est : x = –9/5.
────────────────────────────── Exercice 2. Résoudre
x/(x – 1) = (x – 1)/(x – 4) – (2x – 1)/(2x + 3) = (2x + 5)/(2x + 1)
Cette égalité « en chaîne » signifie que les trois expressions sont égales. Autrement dit, si l’on note :
A = x/(x – 1) B = (x – 1)/(x – 4) – (2x – 1)/(2x + 3) C = (2x + 5)/(2x + 1)
il faut que A = B et B = C (ce qui entraîne A = C).
Avant de résoudre, identifions les restrictions dues aux dénominateurs : x – 1 ≠ 0 ⟹ x ≠ 1, x – 4 ≠ 0 ⟹ x ≠ 4, 2x + 3 ≠ 0 ⟹ x ≠ –3/2, 2x + 1 ≠ 0 ⟹ x ≠ –1/2.
Pour aborder ce problème, nous allons d’abord exprimer la seconde expression B sous une forme plus simple.
Étape 1. Simplifier B : B = (x – 1)/(x – 4) – (2x – 1)/(2x + 3)
Trouvons le dénominateur commun qui est (x – 4)(2x + 3). Alors : B = { (x – 1)(2x + 3) – (2x – 1)(x – 4) } / [(x – 4)(2x + 3)]
Développons les deux produits du numérateur : – (x – 1)(2x + 3) = 2x² + 3x – 2x – 3 = 2x² + x – 3. – (2x – 1)(x – 4) = 2x·x – 2x·4 – 1·x + 4 = 2x² – 8x – x + 4 = 2x² – 9x + 4.
Ainsi, le numérateur devient : 2x² + x – 3 – (2x² – 9x + 4) = 2x² + x – 3 – 2x² + 9x – 4 = 10x – 7.
Dès lors, nous avons : B = (10x – 7) / [(x – 4)(2x + 3)].
Étape 2. Exiger que A = C
Posons : A = x/(x – 1) C = (2x + 5)/(2x + 1)
Posons A = C : x/(x – 1) = (2x + 5)/(2x + 1)
Pour résoudre, on effectue un produit en croix : x(2x + 1) = (2x + 5)(x – 1)
Développements : – À gauche : 2x² + x. – À droite : (2x + 5)(x – 1) = 2x² – 2x + 5x – 5 = 2x² + 3x – 5.
L’équation devient : 2x² + x = 2x² + 3x – 5
Soustraire 2x² + x des deux côtés : 0 = 2x² + 3x – 5 – 2x² – x = 2x – 5
Ainsi, 2x – 5 = 0 ⟹ 2x = 5 ⟹ x = 5/2.
Étape 3. Vérifier si cette valeur satisfait A = B
Calculons A et B pour x = 5/2. • A = (5/2) / ((5/2) – 1) = (5/2) / (3/2) = 5/3. • B = (10x – 7) / [(x – 4)(2x + 3)]. – Calcul du numérateur : 10×(5/2) – 7 = 25 – 7 = 18. – Calcul du dénominateur : x – 4 = (5/2) – 4 = (5 – 8)/2 = –3/2, 2x + 3 = 2×(5/2) + 3 = 5 + 3 = 8, Le produit donne (–3/2)×8 = –12. Donc, B = 18/ (–12) = –3/2.
Nous avons alors : A = 5/3 et B = –3/2.
Les deux valeurs sont différentes. Ainsi, même si A = C pour x = 5/2, l’égalité B = A (ou B = C) n’est pas satisfaite.
Conclusion pour l’exercice 2 : il n’existe aucune valeur de x qui vérifie simultanément x/(x – 1) = (x – 1)/(x – 4) – (2x – 1)/(2x + 3) = (2x + 5)/(2x + 1).
La réponse est donc : Aucune solution.
────────────────────────────── Exercice 3. Résoudre 4/(2x – 4) = 3/(x – 5)
Tout d’abord, remarquer que 2x – 4 peut s’écrire 2(x – 2). Donc : 4/(2x – 4) = 4/[2(x – 2)] = 2/(x – 2).
L’équation se transforme alors en : 2/(x – 2) = 3/(x – 5)
Pour éliminer les fractions, on multiplie chaque côté par (x – 2)(x – 5) : 2(x – 5) = 3(x – 2)
Développons : 2x – 10 = 3x – 6
Isolez x : –10 + 6 = 3x – 2x ⟹ –4 = x donc x = –4.
Vérification des restrictions : x – 2 ≠ 0 ⟹ –4 – 2 = –6 ≠ 0, x – 5 ≠ 0 ⟹ –4 – 5 = –9 ≠ 0.
La solution de cette équation est : x = –4.
────────────────────────────── Exercice 4. Résoudre 5/(2x – 1) = (2x + 1)/3
Ici, le dénominateur 2x – 1 ne doit pas être nul, donc x ≠ 1/2.
Multiplions par 3(2x – 1) pour éliminer les fractions : 3 · 5 = (2x + 1)(2x – 1)
Calcul du côté gauche : 3×5 = 15.
Le produit (2x + 1)(2x – 1) est une différence de carrés : (2x + 1)(2x – 1) = (2x)² – 1² = 4x² – 1.
On obtient l’équation : 15 = 4x² – 1
Ajouter 1 à chaque côté : 4x² = 16
Diviser par 4 : x² = 4
Extraire la racine : x = 2 ou x = –2
Vérification des restrictions : Pour x = 2 : 2×2 – 1 = 4 – 1 = 3 ≠ 0. Pour x = –2 : 2×(–2) – 1 = –4 – 1 = –5 ≠ 0.
Les solutions sont donc : x = 2 et x = –2.
────────────────────────────── Exercice 5. Résoudre (x – 1)/(2x – 1) = –1/2
On doit vérifier que le dénominateur 2x – 1 n’est pas nul : 2x – 1 ≠ 0 ⟹ x ≠ 1/2.
Pour éliminer les fractions, on effectue un produit en croix : 2(x – 1) = –1 · (2x – 1)
Développons : 2x – 2 = –2x + 1
Rassemblons les termes en x d’un côté : 2x + 2x = 1 + 2 ⟹ 4x = 3
Résolvons : x = 3/4
Vérifions la restriction : 2x – 1 = 2×(3/4) – 1 = 1,5 – 1 = 0,5 ≠ 0.
La solution est : x = 3/4.
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Chaque exercice a été résolu en appliquant les étapes classiques de manipulation d’équations rationnelles : élimination des dénominateurs, produit en croix, simplification et vérification des restrictions sur x.