Exercice 71

Quelles valeurs doivent prendre \(a\) et \(b\) pour que l’équation

\[2x(3a + 1) = 2\left(b - \frac{1}{2}\right)\]

1. ait une solution unique ?
2. n’ait aucune solution ?
3. ait un ensemble de solutions ?

Réponse

Résumé des solutions :

1. Solution unique lorsque \(a \neq -\frac{1}{3}\).

2. Aucune solution lorsque \(a = -\frac{1}{3}\) et \(b \neq \frac{1}{2}\).

3. Infinité de solutions lorsque \(a = -\frac{1}{3}\) et \(b = \frac{1}{2}\).

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons analyser l’équation donnée et déterminer les conditions sur \(a\) et \(b\) pour chaque cas demandé.

Équation donnée : \[2x(3a + 1) = 2\left(b - \frac{1}{2}\right)\]

Étape 1 : Simplifier l’équation

Tout d’abord, simplifions l’équation en divisant chaque côté par \(2\) : \[ \frac{2x(3a + 1)}{2} = \frac{2\left(b - \frac{1}{2}\right)}{2} \] Ce qui donne : \[ x(3a + 1) = b - \frac{1}{2} \]

Étape 2 : Isoler \(x\)

Pour isoler \(x\), divisons chaque côté de l’équation par \((3a + 1)\) : \[ x = \frac{b - \frac{1}{2}}{3a + 1} \]

Analyse des cas

Maintenant, examinons les différentes situations en fonction des valeurs de \(a\) et \(b\).

1. Une solution unique

Pour qu’il y ait une solution unique, le dénominateur \((3a + 1)\) ne doit pas être égal à zéro. En effet, si le dénominateur est différent de zéro, l’équation permet de calculer une valeur précise pour \(x\).

Condition : \[ 3a + 1 \neq 0 \\ \Rightarrow a \neq -\frac{1}{3} \]

Conclusion : L’équation admet une solution unique pour toute valeur de \(a\) différente de \(-\frac{1}{3}\), quel que soit \(b\).

2. Aucune solution

Il n’y a aucune solution lorsque le dénominateur est égal à zéro et que le numérateur n’est pas égal à zéro simultanément. Cela crée une contradiction, rendant l’équation impossible à satisfaire.

Conditions : \[ 3a + 1 = 0 \quad \text{et} \quad b - \frac{1}{2} \neq 0 \\ \Rightarrow a = -\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad b \neq \frac{1}{2} \]

Conclusion : L’équation n’a aucune solution lorsque \(a = -\frac{1}{3}\) et \(b\) n’est pas égal à \(\frac{1}{2}\).

3. Un ensemble de solutions

Il existe un ensemble de solutions (c’est-à-dire une infinité de solutions) lorsque le dénominateur et le numérateur sont tous deux égaux à zéro. Dans ce cas, l’équation devient \(0 = 0\), ce qui est vrai pour toute valeur de \(x\).

Conditions : \[ 3a + 1 = 0 \quad \text{et} \quad b - \frac{1}{2} = 0 \\ \Rightarrow a = -\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad b = \frac{1}{2} \]

Conclusion : L’équation admet un ensemble de solutions lorsque \(a = -\frac{1}{3}\) et \(b = \frac{1}{2}\). Dans ce cas, \(x\) peut prendre n’importe quelle valeur.

Résumé des résultats

1. Solution unique : \[ a \neq -\frac{1}{3} \]

2. Aucune solution : \[ a = -\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad b \neq \frac{1}{2} \]

3. Ensemble de solutions : \[ a = -\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad b = \frac{1}{2} \]

Ainsi, en fonction des valeurs de \(a\) et \(b\), nous pouvons déterminer le nombre de solutions de l’équation initiale.