Exercice 70

Quelles valeurs doivent prendre \(a\) et \(b\) pour que l’équation \(x \cdot (2a - 1) = 2b + 1\) :

1. ait une solution unique ?
2. n’ait aucune solution ?
3. ait un ensemble de solutions ?

Réponse

Résumé :

1. Solution unique : \(a \neq \frac{1}{2}\).

2. Aucune solution : \(a = \frac{1}{2}\) et \(b \neq -\frac{1}{2}\).

3. Ensemble de solutions : \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = -\frac{1}{2}\).

Corrigé détaillé

Pour déterminer les valeurs de \(a\) et \(b\) pour lesquelles l’équation \[ x \cdot (2a - 1) = 2b + 1 \] possède une solution unique, aucune solution ou un ensemble de solutions, procédons étape par étape.

1. L’équation a une solution unique

Pour qu’une équation linéaire en \(x\) possède une unique solution, le coefficient de \(x\) doit être différent de zéro.

Étapes :

1. Identifier le coefficient de \(x\) : \[ \text{Coefficient de } x = 2a - 1 \]

2. Condition pour une solution unique : \[ 2a - 1 \neq 0 \] \[ 2a \neq 1 \] \[ a \neq \frac{1}{2} \]

3. Conclusion :

   • Pour toute valeur de \(a\) différente de \(\frac{1}{2}\), l’équation admet une unique solution.
   • La valeur de \(b\) n’affecte pas l’unicité de la solution tant que \(a \neq \frac{1}{2}\).

Résultat : \[ a \neq \frac{1}{2} \]

2. L’équation n’a aucune solution

L’absence de solution se produit lorsque le coefficient de \(x\) est nul, mais l’expression indépendante n’est pas nulle.

Étapes :

1. Condition pour que le coefficient de \(x\) soit nul : \[ 2a - 1 = 0 \] \[ 2a = 1 \] \[ a = \frac{1}{2} \]

2. Vérifier l’expression indépendante : \[ 2b + 1 \neq 0 \] \[ 2b \neq -1 \] \[ b \neq -\frac{1}{2} \]

3. Conclusion :

   • Si \(a = \frac{1}{2}\) et \(b \neq -\frac{1}{2}\), l’équation devient une contradiction (par exemple, \(0x = c\) où \(c \neq 0\)), ce qui signifie qu’il n’y a pas de solution.

Résultat : \[ a = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad b \neq -\frac{1}{2} \]

3. L’équation a un ensemble de solutions

Un ensemble de solutions infini se produit lorsque le coefficient de \(x\) est nul et que l’expression indépendante est également nulle.

Étapes :

1. Condition pour que le coefficient de \(x\) soit nul : \[ 2a - 1 = 0 \] \[ a = \frac{1}{2} \]

2. Condition pour que l’expression indépendante soit nulle : \[ 2b + 1 = 0 \] \[ 2b = -1 \] \[ b = -\frac{1}{2} \]

3. Conclusion :

   • Si \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = -\frac{1}{2}\), l’équation devient \(0x = 0\), ce qui est toujours vrai, indépendamment de la valeur de \(x\). Ainsi, \(x\) peut prendre n’importe quelle valeur réelle.

Résultat : \[ a = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad b = -\frac{1}{2} \]

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Résumé des conditions :

1. Solution unique : \[ a \neq \frac{1}{2} \]
2. Aucune solution : \[ a = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad b \neq -\frac{1}{2} \]
3. Ensemble de solutions : \[ a = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad b = -\frac{1}{2} \]