Exercice 69
Quelles valeurs doit prendre \(a\) pour que l’équation \(3a = x \cdot (4 - a)\) :
- ait une solution unique ?
- n’ait aucune solution ?
Réponse
L’équation \(3a = x(4 - a)\) a une solution unique pour tout \(a \neq 4\) et n’a pas de solution lorsque \(a = 4\).
Corrigé détaillé
Correction détaillée
Nous allons analyser l’équation suivante pour déterminer les valeurs de \(a\) qui permettent à l’équation d’avoir une solution unique ou qu’elle n’en ait aucune.
\[ 3a = x \cdot (4 - a) \]
1. Pour que l’équation ait une solution unique
Étape 1 : Isoler \(x\)
Nous souhaitons exprimer \(x\) en fonction de \(a\). Pour ce faire, nous allons isoler \(x\) dans l’équation donnée.
\[ 3a = x \cdot (4 - a) \]
Divisons les deux côtés de l’équation par \((4 - a)\) (à condition que \(4 - a \neq 0\)) pour isoler \(x\) :
\[ x = \frac{3a}{4 - a} \]
Étape 2 : Analyser le dénominateur
L’expression \(\frac{3a}{4 - a}\) est une fraction où \(4 - a\) est le dénominateur. Pour qu’une fraction soit définie (c’est-à-dire qu’elle ait une valeur numérique), le dénominateur ne doit pas être égal à zéro.
\[ 4 - a \neq 0 \]
Étape 3 : Résoudre l’inégalité
Résolvons l’inégalité pour \(a\) :
\[ \begin{align*} 4 - a &\neq 0 \\ -a &\neq -4 \\ a &\neq 4 \end{align*} \]
Conclusion :
L’équation \(3a = x \cdot (4 - a)\) a une solution unique pour toute valeur de \(a\) telle que \(a \neq 4\).
2. Pour que l’équation n’ait aucune solution
Étape 1 : Identifier la condition d’absence de solution
Une équation n’a pas de solution lorsque l’expression est indéfinie. Dans notre cas, cela se produit lorsque le dénominateur de la fraction \(\frac{3a}{4 - a}\) est égal à zéro.
\[ 4 - a = 0 \]
Étape 2 : Résoudre l’équation pour \(a\)
\[ \begin{align*} 4 - a &= 0 \\ -a &= -4 \\ a &= 4 \end{align*} \]
Conclusion :
L’équation \(3a = x \cdot (4 - a)\) n’a aucune solution lorsque \(a = 4\).
Résumé
Solution unique : Pour tout \(a\) tel que \(a \neq 4\).
Aucune solution : Lorsque \(a = 4\).