Résoudre les équations littérales suivantes, où \(x\) est l’inconnue et \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) :
\(\frac{x}{b} - \frac{x}{a} = 1\)
\(\frac{x}{a} - a = \frac{x}{b} - b\)
\(\frac{x - a}{b} = \frac{x - b}{a}\)
\(\frac{x}{a} + \frac{a}{b} = \frac{b}{a} - \frac{x}{b}\)
\(\frac{x + a}{a} - \frac{x + b}{b} = 1\)
\(\frac{1}{a} = \frac{1}{x} + \frac{1}{b}\)
Solutions des équations :
Voici les solutions détaillées pour chacune des équations proposées.
Étapes de résolution :
Mettre en facteur \(x\) : \[ x \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = 1 \]
Simplifier l’expression entre parenthèses : \[ \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab} \] Donc, \[ x \left( \frac{a - b}{ab} \right) = 1 \]
Isoler \(x\) : \[ x = 1 \times \frac{ab}{a - b} = \frac{ab}{a - b} \]
Solution : \[ x = \frac{ab}{a - b} \]
Étapes de résolution :
Rassembler les termes contenant \(x\) d’un côté et les autres de l’autre : \[ \frac{x}{a} - \frac{x}{b} = a - b \]
Mettre en facteur \(x\) : \[ x \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) = a - b \]
Simplifier l’expression entre parenthèses : \[ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} \] Donc, \[ x \left( \frac{b - a}{ab} \right) = a - b \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a - b}{\frac{b - a}{ab}} = (a - b) \times \frac{ab}{b - a} = -ab \]
Solution : \[ x = -ab \]
Étapes de résolution :
Éliminer les dénominateurs en multipliant chaque côté par \(ab\) : \[ ab \times \frac{x - a}{b} = ab \times \frac{x - b}{a} \] Simplifiant : \[ a(x - a) = b(x - b) \]
Développer les deux côtés : \[ ax - a^2 = bx - b^2 \]
Rassembler les termes contenant \(x\) d’un côté et les autres de l’autre : \[ ax - bx = a^2 - b^2 \] \[ x(a - b) = a^2 - b^2 \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a^2 - b^2}{a - b} \] Remarquons que \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), donc : \[ x = a + b \]
Solution : \[ x = a + b \]
Étapes de résolution :
Rassembler les termes contenant \(x\) d’un côté et les autres de l’autre : \[ \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = \frac{b}{a} - \frac{a}{b} \]
Mettre en facteur \(x\) : \[ x \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{b}{a} - \frac{a}{b} \]
Simplifier les expressions : \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} \] \[ \frac{b}{a} - \frac{a}{b} = \frac{b^2 - a^2}{ab} = \frac{(b - a)(b + a)}{ab} \] Donc, \[ x \times \frac{a + b}{ab} = \frac{(b - a)(a + b)}{ab} \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{(b - a)(a + b)}{ab} \times \frac{ab}{a + b} = b - a \]
Solution : \[ x = b - a \]
Étapes de résolution :
Développer les fractions : \[ \frac{x + a}{a} - \frac{x + b}{b} = \frac{x}{a} + \frac{a}{a} - \frac{x}{b} - \frac{b}{b} = \frac{x}{a} + 1 - \frac{x}{b} - 1 \] Simplifiant : \[ \frac{x}{a} - \frac{x}{b} = 1 \]
Mettre en facteur \(x\) : \[ x \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) = 1 \]
Simplifier l’expression entre parenthèses : \[ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} \] Donc, \[ x \times \frac{b - a}{ab} = 1 \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{ab}{b - a} = \frac{ab}{-(a - b)} = -\frac{ab}{a - b} \]
Solution : \[ x = -\frac{ab}{a - b} \]
Étapes de résolution :
Mettre les termes contenant \(x\) d’un côté et les autres de l’autre : \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \]
Simplifier l’expression de droite : \[ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} \] Donc, \[ \frac{1}{x} = \frac{b - a}{ab} \]
Inverser les deux côtés pour isoler \(x\) : \[ x = \frac{ab}{b - a} = \frac{ab}{-(a - b)} = -\frac{ab}{a - b} \]
Solution : \[ x = -\frac{ab}{a - b} \]
Ces corrections détaillées permettent de comprendre le processus de résolution de chaque équation en suivant des étapes logiques et mathématiques claires.