Résoudre les équations littérales suivantes (x est l’inconnue) :
\(b x \cdot (2+a) - b \cdot (a-2) = b \cdot (x+1)\)
\(a \cdot (a x - a - 2 b) - b x \cdot (2 a - b) - b^{2} = 0\)
\(2 a b x - a b \cdot (2 b - a) = b x \cdot (a - b) - a b \cdot (b - 2 a)\)
\(a^{2} \cdot (x+1) + b = x \cdot \left(2 b - a^{2}\right) + 2 a^{2}\)
\(a \cdot (x+2) - 2 b x = a x - 2 \cdot (b x - a)\)
\(b^{2} \cdot (a - x) - 3 a^{2} b = a b x - 2 b \cdot \left(a^{2} + b x\right)\)
Solutions :
Équation : \[ b x \cdot (2 + a) - b \cdot (a - 2) = b \cdot (x + 1) \]
Correction détaillée :
Distribuer les termes :
\[ b x (2 + a) - b(a - 2) = b(x + 1) \]
Distribuons \(b x\) dans \((2 + a)\) et \(b\) dans \((a - 2)\) :
\[ b x \cdot 2 + b x \cdot a - b \cdot a + b \cdot 2 = b x + b \cdot 1 \]
Simplifions :
\[ 2b x + a b x - a b + 2b = b x + b \]
Regrouper les termes contenant \(x\) d’un côté et les autres de l’autre côté :
Soustrayons \(b x\) des deux côtés :
\[ 2b x + a b x - b x - a b + 2b = b \]
Factorisons \(x\) :
\[ x(2b + a b - b) - a b + 2b = b \]
Simplifions :
\[ x(b(2 + a - 1)) - a b + 2b = b \]
\[ x(b(1 + a)) + b(2 - a) = b \]
Isoler \(x\) :
Soustrayons \(b(2 - a)\) des deux côtés :
\[ x b(a + 1) = b - b(2 - a) \]
Simplifions le côté droit :
\[ x b(a + 1) = b - 2b + a b = b(a -1) \]
Divisons les deux côtés par \(b(a + 1)\) (en supposant que \(b(a + 1) \neq 0\)) :
\[ x = \frac{b(a - 1)}{b(a + 1)} = \frac{a - 1}{a + 1} \]
Solution finale : \[ x = \frac{a - 1}{a + 1} \]
Équation : \[ a \cdot (a x - a - 2 b) - b x \cdot (2 a - b) - b^{2} = 0 \]
Correction détaillée :
Distribuer les termes :
\[ a(a x - a - 2b) - b x (2a - b) - b^2 = 0 \]
Distribuons \(a\) et \(b x\) :
\[ a^2 x - a^2 - 2a b - 2a b x + b^2 x - b^2 = 0 \]
Regrouper les termes similaires :
Regroupons les termes contenant \(x\) et les termes constants :
\[ (a^2 x - 2a b x + b^2 x) + (-a^2 - 2a b - b^2) = 0 \]
Factorisons \(x\) :
\[ x(a^2 - 2a b + b^2) - (a^2 + 2a b + b^2) = 0 \]
Isoler \(x\) :
\[ x(a^2 - 2a b + b^2) = a^2 + 2a b + b^2 \]
Divisons par \(a^2 - 2a b + b^2\) (en supposant que \(a^2 - 2a b + b^2 \neq 0\)) :
\[ x = \frac{a^2 + 2a b + b^2}{a^2 - 2a b + b^2} \]
Solution finale : \[ x = \frac{a^2 + 2a b + b^2}{a^2 - 2a b + b^2} \]
Équation : \[ 2 a b x - a b \cdot (2 b - a) = b x \cdot (a - b) - a b \cdot (b - 2 a) \]
Correction détaillée :
Distribuer les termes :
\[ 2 a b x - a b (2 b - a) = b x (a - b) - a b (b - 2a) \]
Distribuons \(-a b\) et \(b x\) et \(-a b\) :
\[ 2 a b x - 2 a b^2 + a^2 b = a b x - b^2 x - a b^2 + 2a^2 b \]
Regrouper les termes similaires :
Regroupons les termes contenant \(x\) et les termes constants :
\[ 2 a b x - a b x + b^2 x = 2a^2 b - a^2 b + 2a b^2 - 2a b^2 \]
Simplifions :
\[ (2a b - a b + b^2) x = a^2 b \]
\[ (a b + b^2) x = a^2 b \]
Isoler \(x\) :
\[ x(a b + b^2) = a^2 b \]
Divisons par \(b(a + b)\) (en supposant que \(b(a + b) \neq 0\)) :
\[ x = \frac{a^2 b}{b(a + b)} = \frac{a^2}{a + b} \]
Solution finale : \[ x = \frac{a^2}{a + b} \]
Équation : \[ a^{2} \cdot (x + 1) + b = x \cdot \left(2 b - a^{2}\right) + 2 a^{2} \]
Correction détaillée :
Distribuer les termes :
\[ a^2 (x + 1) + b = x(2b - a^2) + 2a^2 \]
Distribuons \(a^2\) et \(x\) :
\[ a^2 x + a^2 + b = 2b x - a^2 x + 2a^2 \]
Regrouper les termes contenant \(x\) et les termes constants :
Déplaçons tous les termes contenant \(x\) d’un côté et les autres de l’autre :
\[ a^2 x + a^2 + b - 2b x + a^2 x - 2a^2 = 0 \]
Regroupons :
\[ (a^2 x + a^2 x - 2b x) + (a^2 + b - 2a^2) = 0 \]
Simplifions :
\[ (2a^2 x - 2b x) + (-a^2 + b) = 0 \]
Factorisons \(x\) :
\[ x(2a^2 - 2b) = a^2 - b \]
Isoler \(x\) :
\[ x = \frac{a^2 - b}{2a^2 - 2b} = \frac{a^2 - b}{2(a^2 - b)} = \frac{1}{2} \]
Solution finale : \[ x = \frac{1}{2} \]
Équation : \[ a \cdot (x + 2) - 2 b x = a x - 2 \cdot (b x - a) \]
Correction détaillée :
Distribuer les termes :
\[ a(x + 2) - 2b x = a x - 2(b x - a) \]
Distribuons \(a\) et le \(-2\) :
\[ a x + 2a - 2b x = a x - 2b x + 2a \]
Simplifier les deux côtés de l’équation :
Observons que les deux côtés de l’équation sont identiques :
\[ a x + 2a - 2b x = a x - 2b x + 2a \]
Cela signifie que l’équation est vraie pour toutes les valeurs de \(x\).
Conclusion :
L’équation est une identité, donc toute valeur de \(x\) est solution.
Solution finale : \[ \text{Tout réel } x \text{ est solution.} \]
Équation : \[ b^{2} \cdot (a - x) - 3 a^{2} b = a b x - 2 b \cdot \left(a^{2} + b x\right) \]
Correction détaillée :
Distribuer les termes :
\[ b^2(a - x) - 3a^2 b = a b x - 2b(a^2 + b x) \]
Distribuons \(b^2\) et \(-2b\) :
\[ a b^2 - b^2 x - 3a^2 b = a b x - 2a^2 b - 2b^2 x \]
Regrouper les termes contenant \(x\) et les termes constants :
Déplaçons tous les termes avec \(x\) d’un côté et les autres de l’autre :
\[ -b^2 x + 2b^2 x = -2a^2 b -3a^2 b - a b^2 \]
Simplifions :
\[ b^2 x = -5a^2 b - a b^2 \]
Isoler \(x\) :
\[ x = \frac{ -5a^2 b - a b^2 }{ b^2 } \]
Simplifions en factorisant \(b\) au numérateur :
\[ x = \frac{ b(-5a^2 - a b) }{ b^2 } = \frac{ -5a^2 - a b }{ b } \]
Séparons les termes :
\[ x = -5\frac{a^2}{b} - a \]
Solution finale : \[ x = -5\,\frac{a^{2}}{b} - a \]