Résoudre les équations littérales suivantes pour l’inconnue \(x\) :
\(a x + b = c x + d\)
\(a x - a = x - 1\)
\(a x - b = b x - a\)
\(a x + 1 = a^{2} + x\)
\(a^{3} x - a = x - 1\)
\(a(x - a) + a b = b(x + b) - a b\)
\(x = \dfrac{d - b}{a - c}\)
\(x = 1\) si \(a \neq 1\)
\(x = -1\)
\(x = a + 1\) si \(a \neq 1\)
\(x = \dfrac{1}{a^{2} + a + 1}\) si \(a \neq 1\)
\(x = a - b\) si \(a \neq b\)
Nous allons résoudre chaque équation étape par étape en isolant \(x\). Suivez attentivement chaque étape pour bien comprendre la démarche.
Étapes de résolution :
Isoler les termes contenant \(x\) d’un côté : \[ a x - c x = d - b \] En soustrayant \(c x\) des deux côtés et \(b\) des deux côtés.
Factoriser \(x\) : \[ (a - c) x = d - b \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{d - b}{a - c} \]
Solution : \[ x = \frac{d - b}{a - c} \]
Étapes de résolution :
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ a x - x = a - 1 \] En ajoutant \(1\) des deux côtés et en ajoutant \(x\) des deux côtés.
Factoriser \(x\) : \[ x (a - 1) = a - 1 \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a - 1}{a - 1} \] Si \(a \neq 1\), alors : \[ x = 1 \]
Solution : \[ x = 1 \quad (\text{si } a \neq 1) \]
Étapes de résolution :
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ a x - b x = b - a \] En ajoutant \(b x\) des deux côtés et en ajoutant \(b\) des deux côtés.
Factoriser \(x\) : \[ x (a - b) = b - a \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{b - a}{a - b} = \frac{-(a - b)}{a - b} = -1 \]
Solution : \[ x = -1 \]
Étapes de résolution :
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ a x - x = a^{2} - 1 \] En soustrayant \(x\) des deux côtés et en soustrayant \(1\) des deux côtés.
Factoriser \(x\) : \[ x (a - 1) = a^{2} - 1 \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a^{2} - 1}{a - 1} \]
Simplifier l’expression (si possible) : \[ a^{2} - 1 = (a - 1)(a + 1) \] Donc : \[ x = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1} = a + 1 \quad (\text{si } a \neq 1) \]
Solution : \[ x = a + 1 \quad (\text{si } a \neq 1) \]
Étapes de résolution :
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ a^{3} x - x = a - 1 \] En ajoutant \(x\) des deux côtés et en ajoutant \(a\) des deux côtés.
Factoriser \(x\) : \[ x (a^{3} - 1) = a - 1 \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a - 1}{a^{3} - 1} \]
Factoriser le dénominateur (si possible) : \[ a^{3} - 1 = (a - 1)(a^{2} + a + 1) \] Donc : \[ x = \frac{a - 1}{(a - 1)(a^{2} + a + 1)} = \frac{1}{a^{2} + a + 1} \quad (\text{si } a \neq 1) \]
Solution : \[ x = \frac{1}{a^{2} + a + 1} \quad (\text{si } a \neq 1) \]
Étapes de résolution :
Développer les expressions des deux côtés : \[ a x - a^{2} + a b = b x + b^{2} - a b \]
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ a x - b x = b^{2} - a b + a^{2} - a b \] En soustrayant \(b x\) des deux côtés et en ajoutant \(a^{2}\) et \(a b\) des deux côtés.
Factoriser \(x\) : \[ x (a - b) = a^{2} + b^{2} - 2 a b \]
Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{a - b} \]
Simplifier l’expression (si possible) : \[ a^{2} + b^{2} - 2 a b = (a - b)^{2} \] Donc : \[ x = \frac{(a - b)^{2}}{a - b} = a - b \quad (\text{si } a \neq b) \]
Solution : \[ x = a - b \quad (\text{si } a \neq b) \]
Chaque équation a été résolue en isolant \(x\) en suivant des étapes logiques et mathématiques claires. Assurez-vous toujours que les dénominateurs ne soient pas égaux à zéro pour que les solutions soient valides.