Exercice 65

Une personne dépense chaque jour la moitié de son argent plus 5 francs. Après deux jours, elle n’a plus d’argent. Quelle somme possédait-elle au début du premier jour ?

Réponse

La personne possédait 30 francs au début.

Corrigé détaillé

Soit S la somme d’argent possédée au début du premier jour.

Étape 1 : Calculer l’argent dépensé et restant après le premier jour
• Le premier jour, la personne dépense la moitié de son argent plus 5 francs, soit :
  Dépense du 1ᵉr jour = S/2 + 5
• L’argent restant après le 1ᵉr jour est alors :
  Argent restant = S - (S/2 + 5) = S - S/2 - 5 = S/2 - 5

Étape 2 : Calculer l’argent dépensé et restant après le deuxième jour
• Le deuxième jour, la personne dépense la moitié de l’argent qu’elle a en début de journée plus 5 francs. Elle dispose donc de S/2 - 5 francs au départ.
  Dépense du 2ᵉme jour = (1/2) × (S/2 - 5) + 5 = S/4 - 5/2 + 5
Pour simplifier, remarquons que 5 = 10/2, donc :
  S/4 - 5/2 + 10/2 = S/4 + (10 - 5)/2 = S/4 + 5/2
• L’argent restant après le deuxième jour est alors :
  Argent restant = (argent au début du 2ᵉme jour) - (dépense du 2ᵉme jour)
  = (S/2 - 5) - (S/4 + 5/2)

Étape 3 : Établir l’équation en utilisant le fait qu’après deux jours il ne reste plus d’argent
On sait qu’après le deuxième jour, l’argent restant est 0. Ainsi,
  (S/2 - 5) - (S/4 + 5/2) = 0

Pour résoudre cette équation, procédons comme suit :

1. Réécrivons S/2 comme 2S/4 pour avoir le même dénominateur que S/4 :
     (2S/4 - 5) - (S/4 + 5/2) = 0

2. Regroupons les termes en S et les constantes :
     (2S/4 - S/4) - (5 + 5/2) = 0
     Ce qui donne : S/4 - (5 + 5/2) = 0

3. Sommons les constantes en trouvant un dénominateur commun (2) :
     5 = 10/2, donc
     5 + 5/2 = 10/2 + 5/2 = 15/2

L’équation devient :
  S/4 - 15/2 = 0

4. Isolons S :
     S/4 = 15/2
     Pour trouver S, multiplions les deux côtés de l’équation par 4 :
     S = (15/2) × 4 = 15 × 2 = 30

Conclusion :
La personne possédait 30 francs au début du premier jour.