Une personne dépense un tiers de son argent, puis un quart du montant restant, et enfin les cinq sixièmes du second reste. Il lui reste alors 8 francs. Combien possédait-elle initialement ?
La personne possédait initialement 96 francs.
Pour déterminer combien la personne possédait initialement, suivons les différentes étapes de ses dépenses en utilisant des expressions algébriques.
Étape 1 : Dépense d’un tiers de son argent
Supposons que la personne possédait initialement \(x\) francs.
Elle dépense un tiers de son argent : \[ \text{Dépense 1} = \frac{1}{3}x \] Il lui reste donc : \[ x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x \]
Étape 2 : Dépense d’un quart du montant restant
Elle dépense ensuite un quart du montant restant : \[ \text{Dépense 2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}x = \frac{2}{12}x = \frac{1}{6}x \] Il lui reste alors : \[ \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}x = \frac{4}{6}x - \frac{1}{6}x = \frac{3}{6}x = \frac{1}{2}x \]
Étape 3 : Dépense des cinq sixièmes du second reste
Elle dépense ensuite les cinq sixièmes de ce second reste : \[ \text{Dépense 3} = \frac{5}{6} \times \frac{1}{2}x = \frac{5}{12}x \] Il lui reste donc : \[ \frac{1}{2}x - \frac{5}{12}x = \frac{6}{12}x - \frac{5}{12}x = \frac{1}{12}x \]
Étape 4 : Établissement de l’équation
On sait qu’à la fin, il lui reste 8 francs : \[ \frac{1}{12}x = 8 \]
Étape 5 : Résolution de l’équation pour trouver \(x\)
Pour trouver \(x\), multiplions les deux côtés de l’équation par 12 : \[ x = 8 \times 12 \] \[ x = 96 \]
Conclusion
La personne possédait initialement 96 francs.