Exercice 61
Initialement, M. Blanc possède \(7500\) fr. de plus que M. Durant. Par la suite, M. Durant dépense \(2500\) fr., tandis que M. Blanc augmente sa fortune de \(5000\) fr. À ce moment, la fortune de M. Durant représente alors les \(\frac{4}{7}\) de la fortune de M. Blanc. Combien possédaient-ils initialement ?
Réponse
Après résolution des équations, la fortune initiale de M. Durant est de 22 500 francs et celle de M. Blanc de 30 000 francs.
Corrigé détaillé
Pour résoudre ce problème, nous allons établir des équations basées sur les informations fournies et les résoudre étape par étape.
Données du problème
- Fortune initiale :
- Soit \(x\) la fortune initiale de M. Durant.
- La fortune initiale de M. Blanc est \(x + 7500\) francs.
- Après transactions :
- M. Durant dépense \(2500\) francs, sa fortune devient \(x - 2500\) francs.
- M. Blanc augmente sa fortune de \(5000\) francs, sa nouvelle fortune est \((x + 7500) + 5000 = x + 12500\) francs.
- Relation entre les fortunes après transactions :
- La fortune de M. Durant est alors les \(\frac{4}{7}\) de la fortune de M. Blanc.
- Cela donne l’équation : \[ x - 2500 = \frac{4}{7}(x + 12500) \]
Étapes de résolution
Établir l’équation : \[ x - 2500 = \frac{4}{7}(x + 12500) \]
Éliminer le dénominateur en multipliant les deux côtés par 7 : \[ 7(x - 2500) = 4(x + 12500) \] \[ 7x - 17500 = 4x + 50000 \]
Isoler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ 7x - 4x = 50000 + 17500 \] \[ 3x = 67500 \]
Résoudre pour \(x\) : \[ x = \frac{67500}{3} = 22500 \] Donc, la fortune initiale de M. Durant est de 22 500 francs.
Calculer la fortune initiale de M. Blanc : \[ x + 7500 = 22500 + 7500 = 30000 \] Ainsi, la fortune initiale de M. Blanc est de 30 000 francs.
Conclusion
- Fortune initiale de M. Durant : \(22\,500\) francs.
- Fortune initiale de M. Blanc : \(30\,000\) francs.
Cette méthode permet de déterminer les fortunes initiales en traduisant les informations du problème en équations mathématiques et en les résolvant étape par étape.