Exercice 60

Un rectangle a une largeur de 15 m. Si sa longueur est diminuée de 14 m et sa largeur augmentée de 6 m, l’aire reste inchangée. Calcule la longueur de ce rectangle.

Réponse

La longueur du rectangle est de 49 m.

Corrigé détaillé

Énoncé du problème : On a un rectangle dont la largeur vaut 15 m et dont la longueur est inconnue (appelons-la L). On nous dit que si l’on diminue la longueur de 14 m et si l’on augmente la largeur de 6 m, l’aire du rectangle reste la même.

Étape 1 : Exprimer l’aire initiale
L’aire d’un rectangle se calcule en multipliant la longueur par la largeur. Pour notre rectangle, l’aire initiale est :
  Aire_initiale = L × 15

Étape 2 : Décrire les modifications apportées
- La nouvelle longueur devient : L – 14
- La nouvelle largeur devient : 15 + 6 = 21
La nouvelle aire est alors :
  Aire_modifiée = (L – 14) × 21

Étape 3 : Établir l’égalité des aires
On nous indique que l’aire reste inchangée après la modification. On a donc :
  L × 15 = (L – 14) × 21

Étape 4 : Résoudre l’équation
Commençons par écrire l’équation :
  15L = 21(L – 14)

Développons le membre de droite :
  15L = 21L – 21 × 14
  15L = 21L – 294

Isolons L en soustrayant 15L des deux côtés de l’équation :
  15L – 15L = 21L – 294 – 15L
  0 = 6L – 294

Ajoutons 294 des deux côtés :
  294 = 6L

Divisons par 6 pour trouver L :
  L = 294 ÷ 6
  L = 49

Étape 5 : Conclusion
La longueur du rectangle est donc de 49 m.

Récapitulatif : 1. Calcul de l’aire initiale et de l’aire modifiée. 2. Établissement de l’équation 15L = 21(L – 14). 3. Développement et simplification de l’équation. 4. Résolution de l’équation pour obtenir L = 49.

Ainsi, la longueur du rectangle est de 49 m.