Partager 77 fr. entre trois personnes de telle sorte que la part de la première soit les quatre cinquièmes de celle de la deuxième et que la troisième reçoive 7 fr. de plus que la deuxième.
Les parts sont réparties ainsi : - Première personne : 20 fr. - Deuxième personne : 25 fr. - Troisième personne : 32 fr.
Correction de l’exercice
Partager 77 fr. entre trois personnes de telle sorte que la part de la première soit les quatre cinquièmes de celle de la deuxième et que la troisième reçoive 7 fr. de plus que la deuxième.
Étape 1 : Définir les variables
Pour résoudre ce problème, commençons par définir une variable pour représenter la part de la deuxième personne.
Étape 2 : Exprimer les parts des autres personnes en fonction de \(x\)
Selon l’énoncé :
La première personne reçoit les quatre cinquièmes de la part de la deuxième personne. Donc : \[ \text{Part de la première personne} = \frac{4}{5}x \]
La troisième personne reçoit 7 fr. de plus que la deuxième personne. Donc : \[ \text{Part de la troisième personne} = x + 7 \]
Étape 3 : Écrire l’équation de la somme des parts
La somme des parts des trois personnes doit être égale à 77 fr. Nous pouvons donc écrire l’équation suivante : \[ \frac{4}{5}x + x + (x + 7) = 77 \]
Étape 4 : Résoudre l’équation pour trouver \(x\)
Simplifions l’équation étape par étape :
Additionnons les termes semblables : \[ \frac{4}{5}x + x + x + 7 = 77 \] \[ \frac{4}{5}x + 2x + 7 = 77 \]
Pour simplifier, exprimons \(2x\) avec un dénominateur de 5 : \[ 2x = \frac{10}{5}x \] Ainsi, l’équation devient : \[ \frac{4}{5}x + \frac{10}{5}x + 7 = 77 \] \[ \frac{14}{5}x + 7 = 77 \]
Isolons le terme contenant \(x\) : \[ \frac{14}{5}x = 77 - 7 \] \[ \frac{14}{5}x = 70 \]
Multiplions les deux côtés de l’équation par \(\frac{5}{14}\) pour résoudre pour \(x\) : \[ x = 70 \times \frac{5}{14} \] \[ x = 70 \times \frac{5}{14} = 25 \]
Étape 5 : Trouver les parts de chaque personne
Maintenant que nous avons trouvé la valeur de \(x\), calculons les parts de chaque personne :
Deuxième personne : \[ x = 25 \; \text{fr.} \]
Première personne : \[ \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \times 25 = 20 \; \text{fr.} \]
Troisième personne : \[ x + 7 = 25 + 7 = 32 \; \text{fr.} \]
Vérification
Vérifions que la somme des parts est bien égale à 77 fr. : \[ 20 + 25 + 32 = 77 \; \text{fr.} \] L’équation est vérifiée.
Conclusion
Les parts sont réparties comme suit : - Première personne : 20 fr. - Deuxième personne : 25 fr. - Troisième personne : 32 fr.