Exercice
La moitié d’un nombre \(\left(\frac{1}{2}x\right)\) dépasse de 10 le sixième de ce nombre \(\left(\frac{1}{6}x\right)\). Quel est ce nombre ?
Le nombre recherché est 30.
Correction de l’exercice
Énoncé :
La moitié d’un nombre \(\left(\frac{1}{2}x\right)\) dépasse de 10 le sixième de ce nombre \(\left(\frac{1}{6}x\right)\). Quel est ce nombre ?
Étape 1 : Traduire l’énoncé en équation
Nous devons trouver un nombre \(x\) tel que la moitié de ce nombre dépasse de 10 le sixième de ce même nombre. Cela se traduit par l’équation suivante :
\[ \frac{1}{2}x = \frac{1}{6}x + 10 \]
Étape 2 : Isoler les termes contenant \(x\) d’un côté de l’équation
Pour simplifier l’équation, nous allons éliminer \(\frac{1}{6}x\) du côté droit en le soustrayant des deux côtés de l’équation :
\[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{6}x = 10 \]
Étape 3 : Calculer la différence des fractions
Pour soustraire les fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Ici, le dénominateur commun est 6.
Convertissons \(\frac{1}{2}x\) en sixièmes :
\[ \frac{1}{2}x = \frac{3}{6}x \]
Maintenant, l’équation devient :
\[ \frac{3}{6}x - \frac{1}{6}x = 10 \]
Effectuons la soustraction :
\[ \left( \frac{3}{6} - \frac{1}{6} \right) x = 10 \\ \frac{2}{6}x = 10 \]
Simplifions \(\frac{2}{6}\) :
\[ \frac{1}{3}x = 10 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
Pour trouver la valeur de \(x\), multiplions les deux côtés de l’équation par 3 :
\[ 3 \times \frac{1}{3}x = 10 \times 3 \\ x = 30 \]
Conclusion :
Le nombre recherché est 30.
Vérification :
Vérifions si ce nombre satisfait l’énoncé.
\[ \frac{1}{2} \times 30 = 15 \]
\[ \frac{1}{6} \times 30 = 5 \]
Selon l’énoncé, la moitié du nombre (15) doit dépasser de 10 le sixième de ce nombre (5) :
\[ 15 = 5 + 10 \\ 15 = 15 \]
L’égalité est vérifiée. Donc, le nombre est bien 30.