On obtient le même résultat en ajoutant 5 aux \(\frac{2}{3}\) d’un nombre qu’en retranchant 2 aux \(\frac{3}{4}\) de ce nombre. Quel est ce nombre ?
Le nombre recherché est 84. En résolvant l’équation \(\frac{2}{3}x + 5 = \frac{3}{4}x - 2\), on obtient \(x = 84\). La vérification confirme que les deux expressions donnent le même résultat.
Pour résoudre ce problème, nous allons suivre une démarche méthodique étape par étape. L’objectif est de trouver le nombre inconnu qui satisfait les conditions énoncées dans l’énoncé.
On obtient le même résultat en ajoutant 5 aux \(\frac{2}{3}\) d’un nombre qu’en retranchant 2 aux \(\frac{3}{4}\) de ce nombre. Quel est ce nombre ?
Commençons par définir l’inconnue. Appelons ce nombre \(x\).
Selon l’énoncé, deux expressions donnent le même résultat :
Ajouter 5 aux \(\frac{2}{3}\) de \(x\) : \[ \frac{2}{3}x + 5 \]
Retrancher 2 des \(\frac{3}{4}\) de \(x\) : \[ \frac{3}{4}x - 2 \]
Comme ces deux expressions sont égales, nous pouvons établir l’équation suivante : \[ \frac{2}{3}x + 5 = \frac{3}{4}x - 2 \]
Pour simplifier l’équation, multiplions chaque terme par le plus petit commun multiple des dénominateurs, qui est 12 dans ce cas.
Multipliant chaque terme par 12 : \[ 12 \times \left(\frac{2}{3}x\right) + 12 \times 5 = 12 \times \left(\frac{3}{4}x\right) - 12 \times 2 \]
Calculons chaque terme : \[ 8x + 60 = 9x - 24 \]
Nous voulons isoler \(x\) d’un côté de l’équation. Pour ce faire, procédons comme suit :
Soustraire \(8x\) des deux côtés : \[ 8x + 60 - 8x = 9x - 24 - 8x \\ 60 = x - 24 \]
Ajouter 24 aux deux côtés : \[ 60 + 24 = x - 24 + 24 \\ 84 = x \]
Le nombre recherché est 84.
Vérifions si ce nombre satisfait les conditions de l’énoncé.
Calculer \(\frac{2}{3}\) de 84 et ajouter 5 : \[ \frac{2}{3} \times 84 = 56 \\ 56 + 5 = 61 \]
Calculer \(\frac{3}{4}\) de 84 et retrancher 2 : \[ \frac{3}{4} \times 84 = 63 \\ 63 - 2 = 61 \]
Les deux expressions donnent bien le même résultat, confirmant que notre solution est correcte.
Le nombre recherché est donc 84.