Exercice 46

Résoudre les équations suivantes :

1. \(2x - 5x - [2x - (1 - x) + 8] = (2x - 1) - [(3 - 5x) - (7x - 2) + x]\)
2. \(0{,}5x + 5 = \frac{x}{3} - 0{,}5\)
3. \(0{,}4x \cdot (5x - 1) = 0{,}6x \cdot (2{,}5x + 2)\)
4. \(x - \frac{x - 8}{4} = \frac{3}{4}x - 2\)
5. \(2x - \frac{x + 7}{5} = \frac{1}{10} \cdot (x - 4) - 1\)
6. \(\frac{x}{6} \cdot 0{,}05 + \frac{x}{4} \cdot 0{,}02 - 32 = 0\)

Réponse

Réponses Courtes

Exercice 1 : \[ x = -\dfrac{1}{19} \]

Exercice 2 : \[ x = -33 \]

Exercice 3 : \[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 3{,}2 \]

Exercice 4 : Aucune solution.

Exercice 5 : \[ x = 0 \]

Exercice 6 : \[ x = 2400 \]

Corrigé détaillé

Correction des Équations

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Exercice 1

\[ 2x - 5x - [2x - (1 - x) + 8] = (2x - 1) - [(3 - 5x) - (7x - 2) + x] \]

Étapes de résolution :

1. Simplifier chaque côté de l’équation :

   Côté gauche : \[ 2x - 5x - [2x - (1 - x) + 8] \]

   • Distribuons le signe moins : \[ 2x - 5x - 2x + (1 - x) - 8 \]
   • Regroupons les termes similaires : \[ (2x - 5x - 2x - x) + (1 - 8) = -6x - 7 \]

   Côté droit : \[ (2x - 1) - [(3 - 5x) - (7x - 2) + x] \]

   • Simplifions l’intérieur des crochets : \[ (3 - 5x) - (7x - 2) + x = 3 - 5x - 7x + 2 + x = 5 - 11x \]
   • Distribuons le signe moins : \[ (2x - 1) - (5 - 11x) = 2x - 1 - 5 + 11x = 13x - 6 \]

2. Équation simplifiée : \[ -6x - 7 = 13x - 6 \]

3. Isoler \(x\) :

   • Ajoutons \(6x\) des deux côtés : \[ -7 = 19x - 6 \]
   • Ajoutons \(6\) des deux côtés : \[ -1 = 19x \]
   • Divisons par \(19\) : \[ x = -\frac{1}{19} \]

Réponse : \[ x = -\dfrac{1}{19} \]

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Exercice 2

\[ 0{,}5x + 5 = \frac{x}{3} - 0{,}5 \]

Étapes de résolution :

1. Éliminer les décimales :
   • Multiplions chaque terme par \(10\) : \[ 5x + 50 = \frac{10x}{3} - 5 \]
2. Éliminer les fractions :
   • Multiplions chaque terme par \(3\) : \[ 15x + 150 = 10x - 15 \]
3. Isoler \(x\) :
   • Soustrayons \(10x\) des deux côtés : \[ 5x + 150 = -15 \]
   • Soustrayons \(150\) des deux côtés : \[ 5x = -165 \]
   • Divisons par \(5\) : \[ x = -33 \]

Réponse : \[ x = -33 \]

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Exercice 3

\[ 0{,}4x \cdot (5x - 1) = 0{,}6x \cdot (2{,}5x + 2) \]

Étapes de résolution :

1. Développer les deux côtés : \[ 0{,}4x \cdot (5x -1) = 2x^2 - 0{,}4x \] \[ 0{,}6x \cdot (2{,}5x + 2) = 1{,}5x^2 + 1{,}2x \]

2. Équation simplifiée : \[ 2x^2 - 0{,}4x = 1{,}5x^2 + 1{,}2x \]

   • Soustrayons \(1,5x^2\) des deux côtés : \[ 0{,}5x^2 - 1{,}6x = 0 \]

3. Factoriser : \[ x(0{,}5x - 1{,}6) = 0 \]

   • Solutions :
     • \(x = 0\)
     • \(0{,}5x - 1{,}6 = 0 \Rightarrow x = 3{,}2\)

Réponse : \[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 3{,}2 \]

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Exercice 4

\[ x - \frac{x - 8}{4} = \frac{3}{4}x - 2 \]

Étapes de résolution :

1. Éliminer les fractions :
   • Multiplions chaque terme par \(4\) : \[ 4x - (x - 8) = 3x - 8 \]
   • Développons : \[ 4x - x + 8 = 3x - 8 \quad \Rightarrow \quad 3x + 8 = 3x - 8 \]
2. Simplifier l’équation :
   • Soustrayons \(3x\) des deux côtés : \[ 8 = -8 \]
   • Cette égalité est impossible.

Réponse : L’équation n’a aucune solution.

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Exercice 5

\[ 2x - \frac{x + 7}{5} = \frac{1}{10} \cdot (x - 4) - 1 \]

Étapes de résolution :

1. Éliminer les fractions :
   • Multiplions chaque terme par \(10\) : \[ 20x - 2(x + 7) = 1(x - 4) - 10 \]
   • Développons : \[ 20x - 2x - 14 = x - 4 - 10 \quad \Rightarrow \quad 18x - 14 = x - 14 \]
2. Isoler \(x\) :
   • Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ 17x - 14 = -14 \]
   • Ajoutons \(14\) des deux côtés : \[ 17x = 0 \]
   • Divisons par \(17\) : \[ x = 0 \]

Réponse : \[ x = 0 \]

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Exercice 6

\[ \frac{x}{6} \cdot 0{,}05 + \frac{x}{4} \cdot 0{,}02 - 32 = 0 \]

Étapes de résolution :

1. Simplifier les termes : \[ \frac{x}{6} \cdot 0{,}05 = \frac{0{,}05x}{6} = \frac{x}{120} \] \[ \frac{x}{4} \cdot 0{,}02 = \frac{0{,}02x}{4} = \frac{x}{200} \]
   • L’équation devient : \[ \frac{x}{120} + \frac{x}{200} - 32 = 0 \]
2. Éliminer les fractions :
   • Trouvons le PPCM de \(120\) et \(200\), qui est \(600\).
   • Multiplions chaque terme par \(600\) : \[ 600 \cdot \frac{x}{120} + 600 \cdot \frac{x}{200} - 600 \cdot 32 = 0 \]
   • Simplifions : \[ 5x + 3x - 19200 = 0 \quad \Rightarrow \quad 8x - 19200 = 0 \]
3. Isoler \(x\) :
   • Ajoutons \(19200\) des deux côtés : \[ 8x = 19200 \]
   • Divisons par \(8\) : \[ x = 2400 \]

Réponse : \[ x = 2400 \]

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Voilà les corrections détaillées pour chacune des équations. N’hésitez pas à revenir si vous avez besoin d’autres explications !