Résoudre les équations suivantes :
\((2x - 3)^2 - 4 = (2x - 5)(2x - 1)\)
\(3(4x - 3) - 4(3x - 2) = -1\)
\(\frac{x}{2} + 3 - \frac{1}{2}(1 + x) = 0\)
\(\frac{2x - 12}{3} - x = 4 - \frac{1}{3}x\)
\(\frac{1}{3}x - 3\left(x - \frac{1}{2}\right) = 2x - \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}x\right) + 2\)
\(\frac{x - 3}{5} - 1,5 = \frac{x}{5} - 2,1\)
Résumé des exercices corrigés :
Équation à résoudre : \[(2x - 3)^2 - 4 = (2x - 5)(2x - 1)\]
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Tout d’abord, développons le membre de gauche et le membre de droite de l’équation.
Donc, \[(2x - 3)^2 - 4 = 4x^2 - 12x + 9 - 4 = 4x^2 - 12x + 5\]
Étape 2 : Écrire l’équation développée
Après le développement, l’équation devient : \[4x^2 - 12x + 5 = 4x^2 - 12x + 5\]
Étape 3 : Simplifier l’équation
En soustrayant \(4x^2 - 12x + 5\) des deux côtés, on obtient : \[0 = 0\]
Conclusion :
L’équation est une identité vraie pour tout nombre réel. Cela signifie que toute valeur de \(x\) satisfait l’équation.
Équation à résoudre : \[3(4x - 3) - 4(3x - 2) = -1\]
Étape 1 : Développer les parenthèses
Développons chaque terme : \[3 \times 4x - 3 \times 3 = 12x - 9\] \[-4 \times 3x + 4 \times 2 = -12x + 8\]
Donc, l’équation devient : \[12x - 9 - 12x + 8 = -1\]
Étape 2 : Simplifier les termes similaires
Regroupons les termes en \(x\) et les constantes : \[ (12x - 12x) + (-9 + 8) = -1\] \[0x -1 = -1\]
Étape 3 : Résoudre l’équation
L’équation simplifiée est : \[-1 = -1\]
Conclusion :
Cette équation est une identité vraie pour tout nombre réel. Donc, toute valeur de \(x\) est une solution.
Équation à résoudre : \[\frac{x}{2} + 3 - \frac{1}{2}(1 + x) = 0\]
Étape 1 : Développer les parenthèses
Développons le terme \(\frac{1}{2}(1 + x)\) : \[\frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times x = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}\]
Donc, l’équation devient : \[\frac{x}{2} + 3 - \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = 0\] \[\frac{x}{2} + 3 - \frac{1}{2} - \frac{x}{2} = 0\]
Étape 2 : Simplifier les termes similaires
Les termes en \(x\) se simplifient : \[\frac{x}{2} - \frac{x}{2} = 0\]
Les constantes : \[3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\]
Ainsi, l’équation devient : \[0 + \frac{5}{2} = 0\] \[\frac{5}{2} = 0\]
Étape 3 : Analyser l’équation
L’équation \(\frac{5}{2} = 0\) est une affirmation fausse.
Conclusion :
Il n’y a aucune solution pour cette équation. Aucune valeur de \(x\) ne satisfait l’équation donnée.
Équation à résoudre : \[\frac{2x - 12}{3} - x = 4 - \frac{1}{3}x\]
Étape 1 : Simplifier les fractions
Tout d’abord, simplifions \(\frac{2x - 12}{3}\) : \[\frac{2x - 12}{3} = \frac{2x}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2x}{3} - 4\]
Remplaçons dans l’équation : \[\left( \frac{2x}{3} - 4 \right) - x = 4 - \frac{1}{3}x\]
Étape 2 : Regrouper les termes en \(x\) et les constantes
Regroupons les termes : \[\frac{2x}{3} - x - 4 = 4 - \frac{1}{3}x\]
Convertissons \(-x\) en fraction : \[-x = -\frac{3x}{3}\]
Donc, l’équation devient : \[\frac{2x}{3} - \frac{3x}{3} - 4 = 4 - \frac{1}{3}x\] \[\frac{-x}{3} - 4 = 4 - \frac{1}{3}x\]
Étape 3 : Éliminer les fractions
Ajoutons \(\frac{x}{3}\) des deux côtés pour éliminer les fractions : \[\frac{-x}{3} + \frac{x}{3} - 4 = 4 - \frac{1}{3}x + \frac{x}{3}\] \[0 - 4 = 4 + 0\] \[-4 = 4\]
Étape 4 : Analyser l’équation
L’équation \(-4 = 4\) est fausse.
Conclusion :
Il n’y a aucune solution pour cette équation. Aucune valeur de \(x\) ne satisfait l’équation donnée.
Équation à résoudre : \[\frac{1}{3}x - 3\left(x - \frac{1}{2}\right) = 2x - \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}x\right) + 2\]
Étape 1 : Développer les parenthèses
Développons les termes : \[-3\left(x - \frac{1}{2}\right) = -3x + \frac{3}{2}\] \[-\left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}x\right) = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3}x\]
Donc, l’équation devient : \[\frac{1}{3}x - 3x + \frac{3}{2} = 2x - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}x + 2\]
Étape 2 : Regrouper les termes similaires
Simplifions chaque côté :
Côté gauche : \[\frac{1}{3}x - 3x + \frac{3}{2} = \left( \frac{1}{3} - 3 \right)x + \frac{3}{2} = \left( \frac{1}{3} - \frac{9}{3} \right)x + \frac{3}{2} = -\frac{8}{3}x + \frac{3}{2}\]
Côté droit : \[2x + \frac{2}{3}x - \frac{1}{2} + 2 = \left(2 + \frac{2}{3}\right)x + \left(-\frac{1}{2} + 2\right) = \frac{8}{3}x + \frac{3}{2}\]
Donc, l’équation simplifiée est : \[-\frac{8}{3}x + \frac{3}{2} = \frac{8}{3}x + \frac{3}{2}\]
Étape 3 : Isoler les termes en \(x\)
Soustrayons \(\frac{3}{2}\) des deux côtés : \[-\frac{8}{3}x = \frac{8}{3}x\]
Ajoutons \(\frac{8}{3}x\) des deux côtés : \[-\frac{8}{3}x + \frac{8}{3}x = \frac{8}{3}x + \frac{8}{3}x\] \[0 = \frac{16}{3}x\]
Étape 4 : Résoudre pour \(x\)
\[\frac{16}{3}x = 0\] \[x = 0\]
Conclusion :
La solution de l’équation est : \[x = 0\]
Équation à résoudre : \[\frac{x - 3}{5} - 1,5 = \frac{x}{5} - 2,1\]
Étape 1 : Simplifier les termes décimaux
Représentons les nombres décimaux sous forme de fractions ou simplifions les équations avec des fractions décimales.
L’équation peut rester telle quelle ou être convertie en fractions. Pour simplifier, nous allons multiplier chaque terme par 10 pour éliminer les décimales.
Étape 2 : Éliminer les décimales en multipliant par 10
Multipliant chaque terme par 10 : \[10 \times \frac{x - 3}{5} - 10 \times 1,5 = 10 \times \frac{x}{5} - 10 \times 2,1\] \[2(x - 3) - 15 = 2x - 21\]
Étape 3 : Développer les parenthèses
Développons le membre de gauche : \[2x - 6 - 15 = 2x - 21\] \[2x - 21 = 2x - 21\]
Étape 4 : Simplifier l’équation
Soustrayons \(2x\) des deux côtés : \[2x - 21 - 2x = 2x - 21 - 2x\] \[-21 = -21\]
Conclusion :
L’équation est une identité vraie pour tout nombre réel. Cela signifie que toute valeur de \(x\) satisfait l’équation.