Résoudre les équations suivantes :
\((x-1) \cdot(x+1)-(x-3) \cdot(x+5)-7=0\)
\((3 x-2)^{2}+(2 x+1)^{2}=7 x \cdot(x-1)-2 x \cdot(2-3 x)-4\)
\((x-1) \cdot(x-2)-(2 x-3) \cdot(2 x+3)=(x-4)^{2}-(2 x)^{2}\)
\((2 x-3)^{2}-5=(2+x)^{2}+3 x \cdot(x-1)\)
\(\left(\frac{1}{2} x-1\right) \cdot\left(\frac{1}{2} x+1\right)-(x-2) \cdot(x-1)=\left(\frac{1}{2} x-2\right)^{2}-x^{2}\)
\((0,2 x-1) \cdot(0,2 x-2)+0,6 x^{2}=(0,8 x-3)^{2}-1\)
Réponses des exercices :
Correction des exercices de mathématiques
Équation : \[(x - 1)(x + 1) - (x - 3)(x + 5) - 7 = 0\]
Solution :
Développer les produits :
\[ \begin{align*} (x - 1)(x + 1) &= x^2 + x - x - 1 = x^2 - 1 \\ (x - 3)(x + 5) &= x^2 + 5x - 3x - 15 = x^2 + 2x - 15 \end{align*} \]
Remplacer dans l’équation initiale :
\[ x^2 - 1 - (x^2 + 2x - 15) - 7 = 0 \]
Simplifier en supprimant les parenthèses :
\[ x^2 - 1 - x^2 - 2x + 15 - 7 = 0 \]
Combiner les termes semblables :
\[ (-2x) + ( -1 + 15 - 7 ) = 0 \\ -2x + 7 = 0 \]
Isoler \(x\) :
\[ -2x + 7 = 0 \\ -2x = -7 \\ x = \frac{-7}{-2} \\ x = \frac{7}{2} \]
Réponse : \[x = \frac{7}{2}\]
Équation : \[(3x - 2)^2 + (2x + 1)^2 = 7x(x - 1) - 2x(2 - 3x) - 4\]
Solution :
Développer les carrés :
\[ \begin{align*} (3x - 2)^2 &= 9x^2 - 12x + 4 \\ (2x + 1)^2 &= 4x^2 + 4x + 1 \end{align*} \]
Développer les termes de droite :
\[ \begin{align*} 7x(x - 1) &= 7x^2 - 7x \\ -2x(2 - 3x) &= -4x + 6x^2 \end{align*} \]
Remplacer dans l’équation :
\[ 9x^2 - 12x + 4 + 4x^2 + 4x + 1 = 7x^2 - 7x - 4x + 6x^2 - 4 \]
Simplifier chaque côté :
\[ \begin{align*} \text{Gauche :} &\ 13x^2 - 8x + 5 \\ \text{Droite :} &\ 13x^2 - 11x - 4 \end{align*} \]
Mettre tout du côté gauche :
\[ 13x^2 - 8x + 5 - 13x^2 + 11x + 4 = 0 \\ 3x + 9 = 0 \]
Isoler \(x\) :
\[ 3x + 9 = 0 \\ 3x = -9 \\ x = -3 \]
Réponse : \[x = -3\]
Équation : \[(x - 1)(x - 2) - (2x - 3)(2x + 3) = (x - 4)^2 - (2x)^2\]
Solution :
Développer les produits et les carrés :
\[ \begin{align*} (x - 1)(x - 2) &= x^2 - 3x + 2 \\ (2x - 3)(2x + 3) &= 4x^2 - 9 \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16 \\ (2x)^2 &= 4x^2 \end{align*} \]
Remplacer dans l’équation :
\[ x^2 - 3x + 2 - (4x^2 - 9) = (x^2 - 8x + 16) - 4x^2 \]
Simplifier :
\[ x^2 - 3x + 2 - 4x^2 + 9 = x^2 - 8x + 16 - 4x^2 \]
Combiner les termes :
\[ -3x^2 - 3x + 11 = -3x^2 - 8x + 16 \]
Mettre tout du côté gauche :
\[ -3x^2 - 3x + 11 + 3x^2 + 8x - 16 = 0 \\ 5x - 5 = 0 \]
Isoler \(x\) :
\[ 5x - 5 = 0 \\ 5x = 5 \\ x = 1 \]
Réponse : \[x = 1\]
Équation : \[(2x - 3)^2 - 5 = (2 + x)^2 + 3x(x - 1)\]
Solution :
Développer les carrés et les produits :
\[ \begin{align*} (2x - 3)^2 &= 4x^2 - 12x + 9 \\ (2 + x)^2 &= x^2 + 4x + 4 \\ 3x(x - 1) &= 3x^2 - 3x \end{align*} \]
Remplacer dans l’équation :
\[ 4x^2 - 12x + 9 - 5 = x^2 + 4x + 4 + 3x^2 - 3x \]
Simplifier chaque côté :
\[ \begin{align*} \text{Gauche :} &\ 4x^2 - 12x + 4 \\ \text{Droite :} &\ 4x^2 + x + 4 \end{align*} \]
Mettre tout du côté gauche :
\[ 4x^2 - 12x + 4 - 4x^2 - x - 4 = 0 \\ -13x = 0 \]
Isoler \(x\) :
\[ -13x = 0 \\ x = 0 \]
Réponse : \[x = 0\]
Équation : \[\left(\frac{1}{2}x - 1\right)\left(\frac{1}{2}x + 1\right) - (x - 2)(x - 1) = \left(\frac{1}{2}x - 2\right)^2 - x^2\]
Solution :
Utiliser la formule du produit remarquable pour les binômes :
\[ \left(a - b\right)\left(a + b\right) = a^2 - b^2 \]
Appliquons cela aux deux premiers termes :
\[ \left(\frac{1}{2}x\right)^2 - 1^2 = \frac{1}{4}x^2 - 1 \]
Développer le second produit :
\[ (x - 2)(x - 1) = x^2 - 3x + 2 \]
Développer le carré à droite :
\[ \left(\frac{1}{2}x - 2\right)^2 = \left(\frac{1}{2}x\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 2 + 2^2 = \frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 \]
Remplacer dans l’équation :
\[ \left(\frac{1}{4}x^2 - 1\right) - \left(x^2 - 3x + 2\right) = \left(\frac{1}{4}x^2 - 2x + 4\right) - x^2 \]
Simplifier chaque côté :
\[ \frac{1}{4}x^2 - 1 - x^2 + 3x - 2 = \frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 - x^2 \]
\[ -\frac{3}{4}x^2 + 3x - 3 = -\frac{3}{4}x^2 - 2x + 4 \]
Mettre tout du côté gauche :
\[ -\frac{3}{4}x^2 + 3x - 3 + \frac{3}{4}x^2 + 2x - 4 = 0 \\ 5x - 7 = 0 \]
Isoler \(x\) :
\[ 5x - 7 = 0 \\ 5x = 7 \\ x = \frac{7}{5} \]
Réponse : \[x = \frac{7}{5}\]
Équation : \[(0,2x - 1)(0,2x - 2) + 0,6x^2 = (0,8x - 3)^2 - 1\]
Remarque : Les virgules sont utilisées comme séparateurs décimaux.
Solution :
Représenter les nombres décimaux en fractions pour faciliter le calcul :
\[ \begin{align*} 0,2x &= \frac{2}{10}x = \frac{1}{5}x \\ 0,6x^2 &= \frac{6}{10}x^2 = \frac{3}{5}x^2 \\ 0,8x &= \frac{8}{10}x = \frac{4}{5}x \\ \end{align*} \]
Ainsi, l’équation devient :
\[ \left(\frac{1}{5}x - 1\right)\left(\frac{1}{5}x - 2\right) + \frac{3}{5}x^2 = \left(\frac{4}{5}x - 3\right)^2 - 1 \]
Développer les produits et les carrés :
\[ \begin{align*} \left(\frac{1}{5}x - 1\right)\left(\frac{1}{5}x - 2\right) &= \frac{1}{25}x^2 - \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}x + 2 = \frac{1}{25}x^2 - \frac{7}{5}x + 2 \\ \left(\frac{4}{5}x - 3\right)^2 &= \left(\frac{4}{5}x\right)^2 - 2 \cdot \frac{4}{5}x \cdot 3 + 3^2 = \frac{16}{25}x^2 - \frac{24}{5}x + 9 \end{align*} \]
Remplacer dans l’équation :
\[ \frac{1}{25}x^2 - \frac{7}{5}x + 2 + \frac{3}{5}x^2 = \frac{16}{25}x^2 - \frac{24}{5}x + 9 - 1 \]
Simplifier chaque côté :
\[ \frac{1}{25}x^2 + \frac{3}{5}x^2 - \frac{7}{5}x + 2 = \frac{16}{25}x^2 - \frac{24}{5}x + 8 \]
Convertissons tous les termes au même dénominateur (25) :
\[ \frac{1}{25}x^2 + \frac{15}{25}x^2 - \frac{35}{25}x + \frac{50}{25} = \frac{16}{25}x^2 - \frac{120}{25}x + \frac{200}{25} \]
\[ \frac{16}{25}x^2 - \frac{35}{25}x + \frac{50}{25} = \frac{16}{25}x^2 - \frac{120}{25}x + \frac{200}{25} \]
Soustraire \(\frac{16}{25}x^2\) des deux côtés :
\[ -\frac{35}{25}x + \frac{50}{25} = -\frac{120}{25}x + \frac{200}{25} \]
Mettre tous les termes contenant \(x\) d’un côté et les constants de l’autre :
\[ -\frac{35}{25}x + \frac{120}{25}x = \frac{200}{25} - \frac{50}{25} \\ \frac{85}{25}x = \frac{150}{25} \\ \frac{85}{25}x = 6 \]
Isoler \(x\) :
\[ x = \frac{6 \cdot 25}{85} = \frac{150}{85} = \frac{30}{17} \]
Réponse : \[x = \frac{30}{17}\]