Exercice 43

Résoudre les équations suivantes :

1. \[-\frac{x}{3} - \frac{x - 3}{2} = -x\]

2. \[\frac{10x + 11}{6} - \frac{14x - 13}{3} = \frac{7 - 6x}{4} + 4\]

3. \[\frac{3x - 5}{6} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \left( \frac{x - 5}{4} \right)\]

4. \[\frac{5x - 5}{3} - \frac{2x + 3}{4} = \frac{3x - 1}{6} - (x + 1)\]

5. \[2(x - 3) + \frac{x - 3}{2} = 3(1 - x) - \frac{3 - 2x}{2}\]

6. \[3 \left( \frac{1}{2}x - 1 \right) + 4 \left( \frac{3x}{2} - 2 \right) = 5(3x - 8) - 1\]

Réponse

Réponses :
1) x = –9
2) x = 5/18
3) x = 5
4) x = 3/4
5) x = 2
6) x = 4

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque équation.

────────────────────────────── Exercice 1) Équation : - x/3 – (x – 3)/2 = – x

1. Pour se débarrasser des dénominateurs, multiplions toute l’équation par 6 (qui est le PPCM de 3 et 2) :   6 × (– x/3) = – 2x
     6 × [– (x – 3)/2] = – 3(x – 3) = – 3x + 9
     6 × (– x) = – 6x

2. L’équation devient :   – 2x – 3x + 9 = – 6x

3. Regroupons les termes semblables à gauche :   – 5x + 9 = – 6x

4. Ajoutons 6x des deux côtés pour rassembler les termes en x :   – 5x + 6x + 9 = – 6x + 6x
     x + 9 = 0

5. On soustrait 9 de chaque côté :   x = – 9

Réponse de l’exercice 1 : x = – 9

────────────────────────────── Exercice 2) Équation : (10x + 11)/6 – (14x – 13)/3 = (7 – 6x)/4 + 4

1. Le plus simple est de multiplier l’équation par 12 (le PPCM de 6, 3 et 4) :   12 × (10x + 11)/6 = 2(10x + 11) = 20x + 22
     12 × (14x – 13)/3 = 4(14x – 13) = 56x – 52
     12 × (7 – 6x)/4 = 3(7 – 6x) = 21 – 18x
     12 × 4 = 48

2. L’équation devient :   (20x + 22) – (56x – 52) = (21 – 18x) + 48

3. Calculons le côté gauche :   20x + 22 – 56x + 52 = – 36x + 74

4. Calculons le côté droit :   21 + 48 – 18x = 69 – 18x

5. On obtient donc :   – 36x + 74 = 69 – 18x

6. Regroupons les termes en x :   – 36x + 18x + 74 = 69
     – 18x + 74 = 69

7. Soustrayons 74 des deux côtés :   – 18x = 69 – 74
     – 18x = – 5

8. Divisons par – 18 :   x = (– 5)/(– 18) = 5/18

Réponse de l’exercice 2 : x = 5/18

────────────────────────────── Exercice 3) Équation : (3x – 5)/6 = x/3 – (1/3)[(x – 5)/4]

1. D’abord, simplifions le membre de droite. On calcule (1/3) × ((x – 5)/4) = (x – 5)/12. L’équation devient :   (3x – 5)/6 = x/3 – (x – 5)/12

2. Pour éliminer les fractions, multiplions toute l’équation par 12 (PPCM de 6, 3 et 12) :   12 × (3x – 5)/6 = 2(3x – 5) = 6x – 10
     12 × (x/3) = 4x
     12 × (x – 5)/12 = x – 5

3. L’équation devient :   6x – 10 = 4x – (x – 5)

4. Développons le côté droit :   4x – (x – 5) = 4x – x + 5 = 3x + 5

5. On a ainsi :   6x – 10 = 3x + 5

6. Soustrayons 3x des deux côtés :   3x – 10 = 5

7. Ajoutons 10 :   3x = 15

8. Divisons par 3 :   x = 5

Réponse de l’exercice 3 : x = 5

────────────────────────────── Exercice 4) Équation : (5x – 5)/3 – (2x + 3)/4 = (3x – 1)/6 – (x + 1)

1. Pour éliminer les fractions, multiplions toute l’équation par 12 (PPCM de 3, 4 et 6) :

  12 × (5x – 5)/3 = 4(5x – 5) = 20x – 20
  12 × (2x + 3)/4 = 3(2x + 3) = 6x + 9
  12 × (3x – 1)/6 = 2(3x – 1) = 6x – 2
  12 × (x + 1) = 12x + 12

2. L’équation devient :   (20x – 20) – (6x + 9) = (6x – 2) – (12x + 12)

3. Simplifions le côté gauche :   20x – 20 – 6x – 9 = 14x – 29

4. Simplifions le côté droit :   6x – 2 – 12x – 12 = – 6x – 14

5. On a donc :   14x – 29 = – 6x – 14

6. Ajoutons 6x des deux côtés :   14x + 6x – 29 = – 14
     20x – 29 = – 14

7. Ajoutons 29 :   20x = 15

8. Divisons par 20 :   x = 15/20 = 3/4

Réponse de l’exercice 4 : x = 3/4

────────────────────────────── Exercice 5) Équation : 2(x – 3) + (x – 3)/2 = 3(1 – x) – (3 – 2x)/2

1. Remarquons que (x – 3) apparaît des deux côtés. Pour éliminer les fractions, multiplions toute l’équation par 2 :

  2 × [2(x – 3)] = 4(x – 3)
  2 × [(x – 3)/2] = x – 3
  2 × [3(1 – x)] = 6(1 – x)
  2 × [(3 – 2x)/2] = 3 – 2x

2. L’équation devient ainsi :   4(x – 3) + (x – 3) = 6(1 – x) – (3 – 2x)

3. Regroupons le côté gauche :   4(x – 3) + (x – 3) = 5(x – 3)

4. Développons le côté droit :   6(1 – x) = 6 – 6x
     Ensuite, 6 – 6x – (3 – 2x) = 6 – 6x – 3 + 2x = 3 – 4x

5. L’équation devient :   5(x – 3) = 3 – 4x

6. Développons le côté gauche :   5x – 15 = 3 – 4x

7. Ajoutons 4x aux deux côtés :   5x + 4x – 15 = 3
     9x – 15 = 3

8. Ajoutons 15 :   9x = 18

9. Divisons par 9 :   x = 2

Réponse de l’exercice 5 : x = 2

────────────────────────────── Exercice 6) Équation : 3[(1/2)x – 1] + 4[(3x)/2 – 2] = 5(3x – 8) – 1

1. Développons chaque terme :

  Première parenthèse : 3[(1/2)x – 1] = (3/2)x – 3
  Deuxième parenthèse : 4[(3x)/2 – 2] = 4×(3x)/2 – 4×2 = 6x – 8

2. Ainsi, le membre de gauche s’écrit :   (3/2)x – 3 + 6x – 8 = (3/2x + 6x) – 11

3. Pour additionner (3/2)x et 6x, exprimons 6x sous forme de fraction avec dénominateur 2 : 6x = (12/2)x.
     Alors, (3/2)x + (12/2)x = (15/2)x.
     Le membre de gauche devient donc : (15/2)x – 11

4. Développons le côté droit :   5(3x – 8) = 15x – 40
     Ensuite, 15x – 40 – 1 = 15x – 41

5. L’équation devient :   (15/2)x – 11 = 15x – 41

6. Pour éliminer la fraction, multiplions toute l’équation par 2 :   2 × [(15/2)x – 11] = 15x – 22
     2 × (15x – 41) = 30x – 82

7. On obtient alors :   15x – 22 = 30x – 82

8. Soustrayons 15x de chaque côté :   – 22 = 15x – 82

9. Ajoutons 82 des deux côtés :   60 = 15x

10. Divisons par 15 :   x = 60/15 = 4

Réponse de l’exercice 6 : x = 4

────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
1) x = – 9
2) x = 5/18
3) x = 5
4) x = 3/4
5) x = 2
6) x = 4

Chaque étape a permis d’éliminer les dénominateurs, de regrouper les termes semblables et d’isoler la variable x. Ces techniques sont très utiles pour aborder et résoudre des équations en toute simplicité.