Résoudre les équations suivantes :
\(\frac{5 x + 35}{6} - 2 = \frac{x + 2,5}{3} + 3\)
\(\frac{4 + x}{4} - (x - 4) = \frac{x - 3}{2} - \frac{5 x + 1}{6}\)
\(\frac{3}{5} \cdot (x - 1) = \frac{2}{3} \cdot \left(x - \frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{3 + 2 x}{5} - \frac{x - 1}{2} = x\)
\(2 \cdot \left(\frac{x - 1}{2} - x\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(x - \frac{5}{3}\right) = 0\)
\(4 x - \frac{1}{2} \cdot (4 - x) = 2 x - \frac{1}{3}\)
Les solutions sont :
1) x = 0
2) x = 16
3) x = –4
4) x = 1
5) x = –1/9
6) x = 2/3.
Nous allons résoudre chacune des équations en détaillant toutes les étapes afin de bien comprendre la démarche.
────────────────────────────── 1) Équation : (5x + 35)/6 – 2 = (x + 2,5)/3 + 3
Étape 1. Multiplier toute l’équation par 6 pour éliminer les dénominateurs : 6 × [(5x + 35)/6 – 2] = 6 × [(x + 2,5)/3 + 3]
Calculons chaque terme : • À gauche : 6 × (5x + 35)/6 = 5x + 35 et 6 × 2 = 12. Donc, côté gauche : 5x + 35 – 12 = 5x + 23. • À droite : 6 × (x + 2,5)/3 = 2(x + 2,5) = 2x + 5 et 6 × 3 = 18. Ainsi, côté droit : 2x + 5 + 18 = 2x + 23.
L’équation devient alors : 5x + 23 = 2x + 23
Étape 2. Soustraire 23 des deux côtés : 5x = 2x
Étape 3. Soustraire 2x des deux côtés : 5x – 2x = 0 ⟹ 3x = 0
Étape 4. Diviser par 3 : x = 0
────────────────────────────── 2) Équation : (4 + x)/4 – (x – 4) = (x – 3)/2 – (5x + 1)/6
Étape 1. Multiplier toute l’équation par le PPCM des dénominateurs (4, 2, 6) qui est 12 : 12 × [(x + 4)/4 – (x – 4)] = 12 × [(x – 3)/2 – (5x + 1)/6]
Calculons chaque groupe :
Côté gauche : • 12 × (x + 4)/4 = 3(x + 4) • 12 × (x – 4) = 12(x – 4) Donc : 3(x + 4) – 12(x – 4).
Développons : 3x + 12 – 12x + 48 = –9x + 60
Côté droit : • 12 × (x – 3)/2 = 6(x – 3) • 12 × (5x + 1)/6 = 2(5x + 1) Donc : 6(x – 3) – 2(5x + 1).
Développons : 6x – 18 – 10x – 2 = –4x – 20
L’équation devient : –9x + 60 = –4x – 20
Étape 2. Regrouper les termes en x et les constantes : Ajouter 9x aux deux côtés : 60 = 5x – 20 Ajouter 20 aux deux côtés : 80 = 5x
Étape 3. Diviser par 5 : x = 80/5 = 16
────────────────────────────── 3) Équation : (3/5)·(x – 1) = (2/3)·(x – 1/2)
Étape 1. Pour éliminer les fractions, multiplions par le PPCM de 5 et 3 qui est 15 : 15 × [(3/5)(x – 1)] = 15 × [(2/3)(x – 1/2)]
Calcul des deux côtés : • Côté gauche : 15 × 3/5 = 9, donc : 9(x – 1) • Côté droit : 15 × 2/3 = 10, donc : 10(x – 1/2) = 10x – 5
L’équation devient : 9x – 9 = 10x – 5
Étape 2. Isoler x : Soustraire 9x des deux côtés : –9 = x – 5 Ajouter 5 aux deux côtés : –9 + 5 = x ⟹ x = –4
────────────────────────────── 4) Équation : (3 + 2x)/5 – (x – 1)/2 = x
Étape 1. Pour supprimer les dénominateurs 5 et 2, multiplions toute l’équation par 10 (PPMC de 5 et 2) : 10 × [(3 + 2x)/5] – 10 × [(x – 1)/2] = 10x
Calculons chaque terme : • 10/5 = 2, donc : 2(3 + 2x) = 6 + 4x • 10/2 = 5, donc : 5(x – 1) = 5x – 5
Ainsi, l’équation devient : 6 + 4x – (5x – 5) = 10x
Attention au signe négatif devant la parenthèse : 6 + 4x – 5x + 5 = 10x Combinez : (4x – 5x = –x) et (6 + 5 = 11), donc : 11 – x = 10x
Étape 2. Isoler x : Ajouter x aux deux côtés : 11 = 11x Diviser par 11 : x = 1
────────────────────────────── 5) Équation : 2 · [(x – 1)/2 – x] – (1/2) · [x – (5/3)] = 0
Étape 1. Simplifier le terme dans la grande parenthèse à gauche : (x – 1)/2 – x Pour écrire x sous forme de fraction sur 2, on a : x = 2x/2. Donc : (x – 1 – 2x)/2 = (–x – 1)/2.
Multiplication par 2 annule le dénominateur : 2 × [(–x – 1)/2] = –x – 1
L’équation devient alors : –x – 1 – (1/2)[x – (5/3)] = 0
Étape 2. Développer le second terme : (1/2)[x – (5/3)] = (x/2) – (5/6)
L’équation se réécrit comme : –x – 1 – x/2 + 5/6 = 0
Étape 3. Regrouper les termes en x et les constantes : Les termes en x : –x – x/2 = –(2x/2 + x/2) = –(3x/2) Les constantes : –1 + 5/6 = (–6/6 + 5/6) = –1/6
Ainsi, l’équation devient : –(3x/2) – 1/6 = 0
Étape 4. Isoler le terme en x : –(3x/2) = 1/6 Multiplier ensuite par –2 pour isoler x : 3x = –(2/6) ⟹ 3x = –(1/3)
Étape 5. Diviser par 3 : x = –(1/3)/3 = –1/9
────────────────────────────── 6) Équation : 4x – (1/2)·(4 – x) = 2x – (1/3)
Étape 1. Développer le terme avec la parenthèse : (1/2)·(4 – x) = 4/2 – x/2 = 2 – (x/2)
L’équation devient : 4x – [2 – (x/2)] = 2x – (1/3)
Attention à la distribution du signe négatif : 4x – 2 + x/2 = 2x – 1/3
Étape 2. Mettre les termes semblables ensemble. Pour faciliter, exprimons 4x en fraction avec dénominateur 2 : 4x = 8x/2, donc : (8x/2 + x/2) – 2 = 9x/2 – 2
L’équation devient : 9x/2 – 2 = 2x – 1/3
Étape 3. Pour éliminer les dénominateurs (2 et 3), multiplions chaque terme par 6 (PPMC de 2 et 3) : 6 × (9x/2) – 6×2 = 6×2x – 6×(1/3)
Calculons : • 6 × (9x/2) = 27x • 6 × 2 = 12 • 6 × 2x = 12x • 6 × (1/3) = 2
L’équation devient : 27x – 12 = 12x – 2
Étape 4. Regrouper les termes en x : 27x – 12x = –2 + 12 ⟹ 15x = 10
Étape 5. Diviser par 15 : x = 10/15 = 2/3
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
Chaque équation a été résolue en éliminant les dénominateurs et en isolant la variable x pas à pas. Ces méthodes vous permettent de simplifier et de résoudre efficacement des équations à coefficients fractionnaires.