Exercice 41

Résoudre les équations suivantes :

1. \(12 - (3x + 2) - 2x + 2 \cdot (3x + 5) + 3x = 0\)

2. \(2 \cdot (-x + 3) - 5 \cdot (3 - 2x) = -(2x + 5 - x) + (5x + 4)\)

3. \(7 - (2x + 1) = 3x - 2 \cdot (4x + 5) - 2x + 1\)

4. \(12 - 2 \cdot (x - 4) = 5x - 3 \cdot (2x + 5)\)

5. \(4x - (4x - (2x - 7)) = 5x - (8x - (4x - 8))\)

6. \((2x - 3) - \{(3x - 5) - (x - (2 - 3x)) + 1\} = 0\)

Réponse

Voici les solutions :

1. \(x = -5\)
2. \(x = \frac{8}{5}\) ou \(x = 1,6\)
3. \(x = -3\)
4. \(x = 35\)
5. \(x = -1\)
6. \(x = \frac{1}{3}\)

Corrigé détaillé

Question 1

Équation : \[12 - (3x + 2) - 2x + 2 \cdot (3x + 5) + 3x = 0\]

Étapes de résolution :

1. Développer les parenthèses et les multiplicateurs : \[ 12 - 3x - 2 - 2x + 2 \times 3x + 2 \times 5 + 3x = 0 \] \[ 12 - 3x - 2 - 2x + 6x + 10 + 3x = 0 \]

2. Regrouper les termes similaires :

   • Les termes constants : \(12 - 2 + 10 = 20\)
   • Les termes en \(x\) : \(-3x - 2x + 6x + 3x = 4x\)

   Donc, l’équation devient : \[ 4x + 20 = 0 \]

3. Isoler le terme en \(x\) : \[ 4x = -20 \]

4. Résoudre pour \(x\) : \[ x = \frac{-20}{4} = -5 \]

Solution : \[x = -5\]

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Question 2

Équation : \[2 \cdot (-x + 3) - 5 \cdot (3 - 2x) = -(2x + 5 - x) + (5x + 4)\]

Étapes de résolution :

1. Développer les parenthèses : \[ 2(-x) + 2(3) - 5(3) + 5(2x) = -2x - 5 + 5x + 4 \] \[ -2x + 6 - 15 + 10x = -2x - 5 + 5x + 4 \]

2. Simplifier les deux côtés de l’équation :

   • À gauche : \[ (-2x + 10x) + (6 - 15) = 8x - 9 \]

   • À droite : \[ (-2x + 5x) + (-5 + 4) = 3x - 1 \]

   Donc, l’équation devient : \[ 8x - 9 = 3x - 1 \]

3. Isoler les termes en \(x\) : \[ 8x - 3x = -1 + 9 \] \[ 5x = 8 \]

4. Résoudre pour \(x\) : \[ x = \frac{8}{5} = 1.6 \]

Solution : \[x = \frac{8}{5} \quad \text{ou} \quad x = 1.6\]

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Question 3

Équation : \[7 - (2x + 1) = 3x - 2 \cdot (4x + 5) - 2x + 1\]

Étapes de résolution :

1. Développer les parenthèses : \[ 7 - 2x - 1 = 3x - 2 \times 4x - 2 \times 5 - 2x + 1 \] \[ 7 - 2x - 1 = 3x - 8x - 10 - 2x + 1 \]

2. Simplifier les deux côtés de l’équation :

   • À gauche : \[ (7 - 1) - 2x = 6 - 2x \]

   • À droite : \[ (3x - 8x - 2x) + (-10 + 1) = -7x - 9 \]

   Donc, l’équation devient : \[ 6 - 2x = -7x - 9 \]

3. Isoler les termes en \(x\) : \[ -2x + 7x = -9 - 6 \] \[ 5x = -15 \]

4. Résoudre pour \(x\) : \[ x = \frac{-15}{5} = -3 \]

Solution : \[x = -3\]

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Question 4

Équation : \[12 - 2 \cdot (x - 4) = 5x - 3 \cdot (2x + 5)\]

Étapes de résolution :

1. Développer les parenthèses : \[ 12 - 2x + 8 = 5x - 6x - 15 \] \[ 20 - 2x = -x - 15 \]

2. Isoler les termes en \(x\) : \[ -2x + x = -15 - 20 \] \[ -x = -35 \]

3. Résoudre pour \(x\) : \[ x = 35 \]

Solution : \[x = 35\]

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Question 5

Équation : \[4x - (4x - (2x - 7)) = 5x - (8x - (4x - 8))\]

Étapes de résolution :

1. Simplifier les parenthèses internes : \[ 4x - (4x - 2x + 7) = 5x - (8x - 4x + 8) \] \[ 4x - (2x + 7) = 5x - (4x + 8) \]

2. Développer les parenthèses externes : \[ 4x - 2x - 7 = 5x - 4x - 8 \] \[ 2x - 7 = x - 8 \]

3. Isoler les termes en \(x\) : \[ 2x - x = -8 + 7 \] \[ x = -1 \]

Solution : \[x = -1\]

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Question 6

Équation : \[(2x - 3) - \{(3x - 5) - (x - (2 - 3x)) + 1\} = 0\]

Étapes de résolution :

1. Simplifier les parenthèses les plus internes : \[ x - (2 - 3x) = x - 2 + 3x = 4x - 2 \]

2. Remplacer dans l’équation : \[ (2x - 3) - \{(3x - 5) - (4x - 2) + 1\} = 0 \]

3. Simplifier l’expression à l’intérieur des accolades : \[ 3x - 5 - 4x + 2 + 1 = -x - 2 \]

4. Remplacer dans l’équation : \[ 2x - 3 - (-x - 2) = 0 \] \[ 2x - 3 + x + 2 = 0 \]

5. Regrouper les termes similaires : \[ 3x - 1 = 0 \]

6. Isoler \(x\) : \[ 3x = 1 \]

7. Résoudre pour \(x\) : \[ x = \frac{1}{3} \]

Solution : \[x = \frac{1}{3}\]