Dans chaque groupe d’équations ci-dessous, indiquez laquelle est résolue correctement.
Solution proposée : \(x = 3\)
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline 3x + 4 & = 2,1x + 10 & -2,1x \\ \hline 0,9x + 4 & = 10 & -4 \\ \hline 0,9x & = 6 & : 0,9 \\ \hline x & = \frac{6}{0,9} & \\ \hline S & = \{6,666\ldots\} & \\ \hline \end{array} \]
Résous l’équation : \[ 15x - 9 = 3x + 21 \]
Résous l’équation : \[ -3x + 14 = 2,5x - 7 \]
Résous l’équation : \[ 8x + 16 = 8x \]
Résous l’équation : \[ 45 + 5x = 0 \]
Si je multiplie un nombre par 5 et que j’ajoute 20 à ce résultat, j’obtiens ce nombre augmenté de 45. Quel est ce nombre ?
Dans une collection de 30 cartes toutes emballées individuellement, il y a \(y\) cartes emballées dans du papier rouge et trois fois plus emballées dans du papier vert.
Un père de 40 ans a un fils de 10 ans. Dans combien d’années l’âge du fils sera-t-il un tiers de l’âge du père ?
Léa a économisé une somme deux fois plus importante que celle de son frère Jules. Leur sœur Clara a 15 euros de plus que Léa. À eux trois, ils possèdent 345 euros.
Calcule ce que chacun a réussi à économiser.
Résous les équations : \[ 22x - 33 = 11 \quad \text{et} \quad 22x = 55 \]
Résous les équations : \[ 3x + 18 = 27 \quad \text{et} \quad \frac{3x}{2} + 12 = 27 \]
Résous les équations : \[ 25x - 50 = 30 \quad \text{et} \quad 25x - 70 = 0 \]
Résous les équations : \[ 10x - (3x + 9) = 25x + 20 \quad \text{et} \quad 5x + 10 = 25x + 20 \]
Résous les équations : \[ 6x - 30 = 3x - 30 \quad \text{et} \quad 6x = 3x \]
Résous les équations : \[ -18x + 30 = -18x - 150 \quad \text{et} \quad 30 = -150 \]
Parmi les nombres ci-dessous, y en a-t-il qui sont les solutions de l’équation \(x^{2} - 4x + 8 = 12\) ? Si oui, entoure-les.
Clara et Julien choisissent un même nombre. Clara ajoute 2 à ce nombre et multiplie le résultat par 5. Julien multiplie ce nombre par 6 et soustrait 3. Ils constatent qu’ils trouvent le même résultat. Quel nombre ont-ils choisi ?
Récapitulatif très court :
1.a) Aucune des équations proposées ne donne x = 3.
1.d) La résolution de 3x + 4 = 2,1x + 10 est correcte et conduit à x =
20⁄3.
2.a) x = 2,5
2.b) x = 42⁄11
2.c) Aucune solution
2.d) x = –9
3.a) Le nombre recherché est 6,25
3.b) y = 7,5
4.a) Dans 5 ans, l’âge du fils sera un tiers de celui du père
4.b) Jules : 66 €, Léa : 132 €, Clara : 147 €
5.a) x = 2 et x = 2,5
5.b) x = 3 et x = 10
5.c) x = 16⁄5 et x = 14⁄5
5.d) x = –29⁄18 et x = –1⁄2
5.e) x = 0
5.f) Aucune solution
5.g) Aucune des propositions n’est solution
5.h) Le nombre choisi est 13.
Voici la correction détaillée en plusieurs parties :
────────────────────────────── Partie 1. Détermination des Équations Correctement Résolues
1.a) On vous propose trois équations dont la solution annoncée est x = 3. Vérifions chacune :
• Première équation : 5x + 10 = 35 – 5x
– On regroupe les x d’un côté :
5x + 5x + 10 = 35
10x + 10 = 35
– On soustrait 10 aux deux côtés :
10x = 25
– On divise par 10 :
x = 25⁄10 = 2,5
La solution obtenue est 2,5 et non 3.
• Deuxième équation : 5x = 30x
– On soustrait 30x aux deux côtés :
5x – 30x = 0
–25x = 0
– En divisant par –25 :
x = 0
Ici, on trouve x = 0.
• Troisième équation : x = 6x
– En soustrayant x aux deux côtés :
x – 6x = 0
–5x = 0
– La solution est :
x = 0
Conclusion pour la partie a) : Aucune des trois équations ne conduit à x = 3.
────────────────────────────── 1.d) La démarche dans le tableau est la suivante (on travaille à partir de l’équation initiale) :
L’équation de départ était :
3x + 4 = 2,1x + 10
Étapes : 1. Soustraire 2,1x des deux côtés :
3x – 2,1x + 4 = 10
0,9x + 4 = 10
Soustraire 4 des deux côtés :
0,9x = 10 – 4
0,9x = 6
Diviser par 0,9 :
x = 6⁄0,9
x = 60⁄9 = 20⁄3 (ce qui correspond à 6,666…)
Le résultat final est bien x = 20⁄3 ; la démarche est correcte.
────────────────────────────── Partie 2. Résolution d’Équations
2.a) Résoudre : 15x – 9 = 3x + 21
Étapes : 1. Soustraire 3x des deux côtés :
15x – 3x – 9 = 21
12x – 9 = 21
Ajouter 9 aux deux côtés :
12x = 21 + 9
12x = 30
Diviser par 12 :
x = 30⁄12 = 5⁄2
Solution : x = 2,5
────────────────────────────── 2.b) Résoudre : –3x + 14 = 2,5x –
7
Étapes : 1. Ajouter 3x aux deux côtés pour regrouper les x :
14 = 2,5x + 3x – 7
14 = 5,5x – 7
Ajouter 7 aux deux côtés :
14 + 7 = 5,5x
21 = 5,5x
Diviser par 5,5 :
x = 21⁄5,5
On peut écrire 5,5 = 11⁄2, alors :
x = 21 ÷ (11⁄2) = 21 × (2⁄11) = 42⁄11
Solution exacte : x = 42⁄11
(En décimal, environ 3,818.)
────────────────────────────── 2.c) Résoudre : 8x + 16 = 8x
Étapes : 1. Soustraire 8x des deux côtés :
8x – 8x + 16 = 0
16 = 0
Cette égalité est impossible.
Solution : Aucune solution (l’équation est impossible).
────────────────────────────── 2.d) Résoudre : 45 + 5x = 0
Étapes : 1. Isoler le terme en x :
5x = –45
2. Diviser par 5 :
x = –45⁄5 = –9
Solution : x = –9
────────────────────────────── Partie 3. Problèmes
3.a) « Si je multiplie un nombre par 5 et que j’ajoute 20 à ce
résultat, j’obtiens ce nombre augmenté de 45. »
Soit le nombre recherché n.
L’équation s’écrit :
5n + 20 = n + 45
Étapes : 1. Soustraire n de chaque côté :
5n – n + 20 = 45
4n + 20 = 45 2. Soustraire 20 :
4n = 45 – 20
4n = 25 3. Diviser par 4 :
n = 25⁄4 = 6,25
Solution : le nombre est 6,25
────────────────────────────── 3.b) « Dans une collection de 30
cartes emballées individuellement, il y a y cartes emballées dans du
papier rouge et trois fois plus emballées dans du papier vert. »
Soit y = nombre de cartes rouges. Alors le nombre de cartes vertes est
3y. La somme totale est :
y + 3y = 30
4y = 30
Diviser par 4 :
y = 30⁄4 = 7,5
Commentaire : Bien que dans un contexte habituel on attend des nombres
entiers pour le décompte d’objets, l’équation nous donne y = 7,5.
Solution : y = 7,5 (ce qui implique 7,5 cartes rouges et 22,5 cartes
vertes)
────────────────────────────── Partie 4. Résolution de Problèmes à l’Aide d’une Équation
4.a) « Un père de 40 ans a un fils de 10 ans. Dans combien d’années
l’âge du fils sera-t-il un tiers de l’âge du père ? »
Soit t le nombre d’années écoulées.
À ce moment-là :
– Âge du père : 40 + t
– Âge du fils : 10 + t
L’équation donnée par « le fils est un tiers du père » est :
10 + t = (1⁄3) (40 + t)
Étapes : 1. Multiplier les deux côtés par 3 pour se débarrasser de la
fraction :
3(10 + t) = 40 + t
30 + 3t = 40 + t 2. Soustraire t des deux côtés :
30 + 2t = 40 3. Soustraire 30 :
2t = 10 4. Diviser par 2 :
t = 5
Solution : Dans 5 ans.
────────────────────────────── 4.b) « Léa a économisé une somme deux
fois plus importante que celle de son frère Jules. Leur sœur Clara a 15
euros de plus que Léa. À eux trois, ils possèdent 345 euros. »
Soit x le montant économisé par Jules.
Alors :
– Léa a 2x
– Clara a (2x + 15)
L’équation de la somme :
x + 2x + (2x + 15) = 345
5x + 15 = 345
Étapes : 1. Soustraire 15 :
5x = 345 – 15
5x = 330 2. Diviser par 5 :
x = 330⁄5 = 66
Dès lors :
– Jules a 66 euros
– Léa a 2 × 66 = 132 euros
– Clara a 132 + 15 = 147 euros
Solution : Jules 66 €, Léa 132 €, Clara 147 €
────────────────────────────── Partie 5. Activités
5.a) Résoudre les équations : (i) 22x – 33 = 11
Étapes : – Ajouter 33 aux deux côtés : 22x = 11 + 33 = 44
– Diviser par 22 : x = 44⁄22 = 2
(ii) 22x = 55
Étapes : – Diviser par 22 : x = 55⁄22 = 2,5
Solutions : x = 2 et x = 2,5.
────────────────────────────── 5.b) Résoudre les équations : (i) 3x
+ 18 = 27
Étapes : – Soustraire 18 : 3x = 27 – 18 = 9
– Diviser par 3 : x = 9⁄3 = 3
(ii) (3x)/2 + 12 = 27
Étapes : – Soustraire 12 : (3x)/2 = 27 – 12 = 15
– Multiplier par 2 : 3x = 30
– Diviser par 3 : x = 30⁄3 = 10
Solutions : x = 3 et x = 10.
────────────────────────────── 5.c) Résoudre les équations : (i) 25x
– 50 = 30
Étapes : – Ajouter 50 : 25x = 30 + 50 = 80
– Diviser par 25 : x = 80⁄25 = 16⁄5
x = 16⁄5 (soit 3,2)
(ii) 25x – 70 = 0
Étapes : – Ajouter 70 : 25x = 70
– Diviser par 25 : x = 70⁄25 = 14⁄5
x = 14⁄5 (soit 2,8)
Solutions : x = 16⁄5 et x = 14⁄5.
────────────────────────────── 5.d) Résoudre les équations : (i) 10x
– (3x + 9) = 25x + 20
Étapes : – Développer le côté gauche : 10x – 3x – 9 = 7x – 9
– On a : 7x – 9 = 25x + 20
– Soustraire 25x de chaque côté : 7x – 25x – 9 = 20
–18x – 9 = 20
– Ajouter 9 : –18x = 20 + 9 = 29
– Diviser par –18 : x = –29⁄18
(ii) 5x + 10 = 25x + 20
Étapes : – Soustraire 5x des deux côtés : 10 = 20x + 20
– Soustraire 20 : 10 – 20 = 20x
–10 = 20x
– Diviser par 20 : x = –10⁄20 = –1⁄2
Solutions : x = –29⁄18 et x = –1⁄2.
────────────────────────────── 5.e) Résoudre les équations : (i) 6x
– 30 = 3x – 30
Étapes : – Soustraire 3x : 6x – 3x – 30 = –30
3x – 30 = –30
– Ajouter 30 : 3x = 0
– Diviser par 3 : x = 0
(ii) 6x = 3x
Étapes : – Soustraire 3x : 3x = 0
– Diviser par 3 : x = 0
Solutions dans les deux cas : x = 0.
────────────────────────────── 5.f) Résoudre les équations : (i)
–18x + 30 = –18x – 150
Étapes : – Ajouter 18x des deux côtés pour faire disparaître le terme
en x :
30 = –150
Cette égalité est fausse, l’équation n’admet donc aucune solution.
(ii) L’égalité 30 = –150 est également fausse.
Conclusion : Aucune solution n’existe.
────────────────────────────── 5.g) Parmi les nombres proposés (–5,
0, 2, 4, 5), déterminer lesquels sont solutions de l’équation
x² – 4x + 8 = 12
Étapes : 1. Transformer l’équation :
x² – 4x + 8 = 12
x² – 4x + 8 – 12 = 0
x² – 4x – 4 = 0
Calculer le discriminant :
Δ = (–4)² – 4 × 1 × (–4) = 16 + 16 = 32
Calculer les solutions :
x = [4 ± √32]⁄2
√32 = 4√2, donc :
x = [4 ± 4√2]⁄2 = 2 ± 2√2
Approximativement,
2 + 2√2 ≈ 2 + 2×1,414 ≈ 4,828
2 – 2√2 ≈ 2 – 2×1,414 ≈ –0,828
Comparaison avec les nombres proposés :
– –5 ≠ –0,828
– 0 ≠ –0,828
– 2 ≠ (2 ± 2√2)
– 4 ≈ 4,0 mais 4,828 est différent
– 5 ≈ 5,0 mais 4,828 est différent
Aucun des nombres proposés ne correspond aux solutions exactes.
Solution : Aucune des propositions n’est une solution.
────────────────────────────── 5.h) Problème complémentaire
« Clara et Julien choisissent le même nombre. Clara ajoute 2 à ce nombre
et multiplie le résultat par 5. Julien multiplie ce nombre par 6 et
soustrait 3. Ils obtiennent le même résultat. Quel nombre ont-ils choisi
? »
Soit x le nombre choisi.
Pour Clara, l’opération donne :
5(x + 2) = 5x + 10
Pour Julien, l’opération donne :
6x – 3
L’égalité à résoudre est :
5x + 10 = 6x – 3
Étapes : 1. Soustraire 5x des deux côtés :
10 = x – 3 2. Ajouter 3 aux deux côtés :
10 + 3 = x
x = 13
Solution : Le nombre choisi est 13.
────────────────────────────── Récapitulatif des Solutions :
1.a) Aucune des équations proposées ne donne x = 3.
1.d) La démarche est correcte et conduit à x = 20⁄3 (≈ 6,67).
2.a) x = 2,5
2.b) x = 42⁄11 (≈ 3,82)
2.c) Pas de solution
2.d) x = –9
3.a) Le nombre est 6,25
3.b) y = 30⁄4 = 7,5
4.a) Dans 5 ans, l’âge du fils sera un tiers de celui du père.
4.b) Jules : 66 €, Léa : 132 €, Clara : 147 €
5.a) x = 2 et x = 2,5
5.b) x = 3 et x = 10
5.c) x = 16⁄5 et x = 14⁄5
5.d) x = –29⁄18 et x = –1⁄2
5.e) x = 0 dans les deux cas
5.f) Aucune solution pour les deux équations
5.g) Aucune des propositions n’est solution
5.h) Le nombre choisi est 13
Chaque étape a été détaillée pour expliquer la logique de résolution. Vous pouvez ainsi comprendre le cheminement de la démarche pour chacune des équations et problèmes.