Question 1. Pour quelles valeurs de \(x\) les égalités suivantes sont-elles vérifiées ?
\((x - 3)(x + 4) = 0\)
\((x - 5)^2 = 0\)
\((x - 7)^2 = 0\)
\(2x(x - 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 5) = 0\)
\(x(4x - 2) = 0\)
Question 2. Trouve une équation du second degré dont les solutions sont :
\(x = 3\) et \(x = -2\)
\(x = -6\) et \(x = 6\)
\(x = \sqrt{3}\) et \(x = -\sqrt{3}\)
\(x = \dfrac{1}{4}\) et \(x = -\dfrac{1}{4}\)
\(x = 7\) uniquement
\(x = 0\) uniquement
Aucun nombre réel
Question 1.
a) x = 3 ou x = –4
b) x = 5
c) x = 7
d) x = 0 ou x = 5
e) x = –5 et x = 5
f) x = 0 et x = 1/2
Question 2.
a) x² – x – 6 = 0
b) x² – 36 = 0
c) x² – 3 = 0
d) x² – 1/16 = 0 ou 16x² – 1 = 0
e) x² – 14x + 49 = 0
f) x² = 0
g) x² + 1 = 0
Voici une correction détaillée pour chacune des parties de l’exercice.
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Question 1. Pour quelles valeurs de x les égalités suivantes sont-elles
vérifiées ?
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a) (x – 3)(x + 4) = 0
Une multiplication de deux facteurs est égale à 0 si l’un au moins des facteurs est égal à 0.
• Si x – 3 = 0, alors x = 3.
• Si x + 4 = 0, alors x = –4.
Ainsi, l’égalité est vérifiée pour x = 3 ou x = –4.
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b) (x – 5)² = 0
Le carré d’un nombre est égal à 0 uniquement lorsque ce nombre lui-même est 0.
• Donc, x – 5 = 0, ce qui donne x = 5.
La seule solution est x = 5.
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c) (x – 7)² = 0
Le raisonnement est le même que dans la partie b).
• x – 7 = 0, donc x = 7.
La seule solution est x = 7.
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d) 2x(x – 5) = 0
Ici, le produit de 2x et (x – 5) est égal à 0. Il suffit que l’un des deux facteurs soit 0.
• Si 2x = 0, alors x = 0.
• Si x – 5 = 0, alors x = 5.
Les solutions sont donc x = 0 ou x = 5.
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e) (x + 5)(x – 5) = 0
De manière similaire au point a), le produit est nul quand l’un ou l’autre des facteurs est nul.
• Si x + 5 = 0, alors x = –5.
• Si x – 5 = 0, alors x = 5.
Les solutions sont x = –5 et x = 5.
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f) x(4x – 2) = 0
Encore, le produit est égal à 0 si au moins l’un des facteurs est nul.
• Si x = 0, c’est une solution.
• Si 4x – 2 = 0, on résout :
4x = 2
x = 2/4 = 1/2.
Les solutions sont x = 0 et x = 1/2.
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Question 2. Trouve une équation du second degré dont les solutions sont
:
Pour construire une équation du second degré connaissant ses racines r1 et r2, on peut partir du produit (x – r1)(x – r2) = 0. En développant ce produit, on obtient une équation sous la forme ax² + bx + c = 0.
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a) Racines : x = 3 et x = –2
On écrit : (x – 3)(x + 2) = 0
Développons :
x × x = x²
x × 2 = 2x
–3 × x = –3x
–3 × 2 = –6
On obtient : x² – x – 6 = 0.
L’équation est : x² – x – 6 = 0.
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b) Racines : x = –6 et x = 6
On écrit : (x + 6)(x – 6) = 0
Développons :
x × x = x²
x × (–6) = –6x
6 × x = 6x
6 × (–6) = –36
Les termes –6x et +6x se neutralisent, ce qui donne : x² – 36 = 0.
L’équation est : x² – 36 = 0.
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c) Racines : x = √3 et x = –√3
On écrit : (x – √3)(x + √3) = 0
En développant, on utilise la différence de deux carrés :
x² – (√3)² = x² – 3 = 0.
L’équation est : x² – 3 = 0.
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d) Racines : x = 1/4 et x = –1/4
On écrit : (x – 1/4)(x + 1/4) = 0
Le développement donne :
x² – (1/4)² = x² – 1/16 = 0.
Pour éviter les fractions, on peut multiplier l’équation par 16
:
16x² – 1 = 0.
L’équation cherchée peut être écrite soit sous la forme x² – 1/16 = 0 soit sous celle 16x² – 1 = 0.
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e) Racine unique : x = 7 uniquement
Une équation du second degré qui admet une unique solution se construit en faisant le carré d’un binôme.
On écrit : (x – 7)² = 0
En développant :
x² – 14x + 49 = 0.
L’équation est : x² – 14x + 49 = 0.
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f) Racine unique : x = 0 uniquement
Ici, la solution double est 0. On peut écrire :
(x – 0)² = x² = 0
Ou, si l’on souhaite voir la forme développée, l’équation est simplement : x² = 0.
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g) Aucun nombre réel
Pour qu’une équation du second degré n’ait aucune solution dans ℝ, son discriminant doit être strictement négatif. Une équation simple ayant cette propriété est :
x² + 1 = 0
Calculons son discriminant Δ :
Δ = 0² – 4 × 1 × 1 = –4, qui est négatif.
Ainsi, l’équation x² + 1 = 0 n’admet aucune solution réelle.
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Résumé des réponses :
Question 1.
a) x = 3 ou x = –4
b) x = 5
c) x = 7
d) x = 0 ou x = 5
e) x = –5 et x = 5
f) x = 0 et x = 1/2
Question 2.
a) x² – x – 6 = 0
b) x² – 36 = 0
c) x² – 3 = 0
d) x² – 1/16 = 0 ou 16x² – 1 = 0
e) x² – 14x + 49 = 0
f) x² = 0
g) x² + 1 = 0
Chaque partie de l’exercice a ainsi été résolue en expliquant clairement comment obtenir les solutions ou construire les équations demandées.