Exercice 24

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(-5x + 2 < -3x + 2\)

2. \(2x - 5 > 2x + 2\)

3. \(\frac{x - 4}{2} \leq x - 1\)

4. \(\frac{2}{3}x + 1 > \frac{2}{3}x\)

5. \(5x - 2x + 3 \leq 5x + 3\)

6. \(\frac{1}{2}x \geq \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\)

Réponse

Résumé des solutions :

1. \(x > 0\)
2. Aucune solution
3. \(x \geq -2\)
4. Tous les réels
5. \(x \geq 0\)
6. \(x \leq -\dfrac{1}{2}\)

Corrigé détaillé

Correction des inéquations

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1) \(-5x + 2 < -3x + 2\)

Étape 1 : Isoler les termes en \(x\) d’un côté de l’inéquation.

\[ -5x + 2 < -3x + 2 \]

Ajoutons \(5x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\) :

\[ -5x + 5x + 2 < -3x + 5x + 2 \\ 2 < 2x + 2 \]

Étape 2 : Isoler le terme contenant \(x\).

Soustrayons \(2\) des deux côtés :

\[ 2 - 2 < 2x + 2 - 2 \\ 0 < 2x \\ \]

Étape 3 : Trouver la valeur de \(x\).

Divisons les deux côtés par \(2\) :

\[ 0 < x \\ \text{Ou bien } x > 0 \]

Solution :

\[ x > 0 \]

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2) \(2x - 5 > 2x + 2\)

Étape 1 : Isoler les termes en \(x\) d’un côté de l’inéquation.

\[ 2x - 5 > 2x + 2 \]

Soustrayons \(2x\) des deux côtés :

\[ 2x - 2x - 5 > 2x - 2x + 2 \\ -5 > 2 \]

Étape 2 : Analyser l’inégalité obtenue.

\(-5 > 2\) est une affirmation fausse. Cela signifie qu’il n’y a aucune solution à cette inéquation.

Solution :

\[ \text{Aucune solution} \]

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3) \(\dfrac{x - 4}{2} \leq x - 1\)

Étape 1 : Se débarrasser du dénominateur en multipliant les deux côtés par \(2\).

\[ \dfrac{x - 4}{2} \leq x - 1 \\ \Rightarrow (x - 4) \leq 2(x - 1) \]

Étape 2 : Développer le côté droit de l’inéquation.

\[ x - 4 \leq 2x - 2 \]

Étape 3 : Isoler les termes en \(x\).

Soustrayons \(x\) des deux côtés :

\[ x - x - 4 \leq 2x - x - 2 \\ -4 \leq x - 2 \]

Ajoutons \(2\) des deux côtés :

\[ -4 + 2 \leq x \\ -2 \leq x \\ \]

Étape 4 : Écrire la solution.

\[ x \geq -2 \]

Solution :

\[ x \geq -2 \]

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4) \(\dfrac{2}{3}x + 1 > \dfrac{2}{3}x\)

Étape 1 : Isoler les termes en \(x\).

\[ \dfrac{2}{3}x + 1 > \dfrac{2}{3}x \]

Soustrayons \(\dfrac{2}{3}x\) des deux côtés :

\[ \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}x + 1 > 0 \\ 1 > 0 \]

Étape 2 : Analyser l’inéquation obtenue.

\(1 > 0\) est une affirmation toujours vraie, quelle que soit la valeur de \(x\).

Solution :

\[ \text{Tous les nombres réels sont solutions.} \]

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5) \(5x - 2x + 3 \leq 5x + 3\)

Étape 1 : Simplifier les termes similaires des deux côtés de l’inéquation.

\[ 5x - 2x + 3 \leq 5x + 3 \\ 3x + 3 \leq 5x + 3 \]

Étape 2 : Isoler les termes en \(x\).

Soustrayons \(3x\) des deux côtés :

\[ 3x - 3x + 3 \leq 5x - 3x + 3 \\ 3 \leq 2x + 3 \]

Soustrayons \(3\) des deux côtés :

\[ 3 - 3 \leq 2x + 3 - 3 \\ 0 \leq 2x \\ \]

Étape 3 : Trouver la valeur de \(x\).

Divisons les deux côtés par \(2\) :

\[ 0 \leq x \\ \text{Ou bien } x \geq 0 \]

Solution :

\[ x \geq 0 \]

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6) \(\dfrac{1}{2}x \geq \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}\)

Étape 1 : Isoler les termes en \(x\).

\[ \dfrac{1}{2}x \geq \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} \]

Soustrayons \(\dfrac{3}{2}x\) des deux côtés :

\[ \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}x \geq \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{2}{2}x \geq \dfrac{1}{2} \\ - x \geq \dfrac{1}{2} \]

Étape 2 : Isoler \(x\).

Multiplions les deux côtés par \(-1\). N’oublions pas que multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

\[ - x \geq \dfrac{1}{2} \\ \Rightarrow x \leq -\dfrac{1}{2} \]

Solution :

\[ x \leq -\dfrac{1}{2} \]

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