Exercice 23

1. Trouve un nombre \(x\) tel que les quatre cinquièmes de ce nombre augmentés de 15 soient égaux au nombre diminué du dixième de ce nombre.

2. La longueur d’un rectangle est \(x\) et sa largeur est \(\frac{2}{3}x\). Sachant que le périmètre du rectangle est égal à 180, détermine la longueur \(x\).

3. Une somme d’argent \(x\) est réduite en soustrayant la moitié de cette somme et un tiers de cette somme. Il reste 70 euros. Détermine la somme initiale \(x\).

4. Une somme d’argent de 4650 euros est répartie entre trois personnes. La première personne reçoit \(\frac{2}{5}x\), la deuxième personne reçoit \(x\), et la troisième personne reçoit \(x - 150\). Détermine la valeur de \(x\).

5. Vincent a \(x\) ans et François a \(5x\) ans. Dans dix ans, trois fois l’âge de Vincent sera égal à l’âge de François à ce moment-là augmenté de 10 ans. Détermine l’âge de Vincent.

6. Dans une salle de spectacle, il y a \(x\) spectateurs au parterre et \(360 - x\) spectateurs au balcon. Les billets coûtent 10 euros au parterre et 12 euros au balcon. Le montant total des recettes est de 3760 euros. Détermine le nombre de spectateurs au parterre.

7. La différence d’aire entre un cercle de rayon \(x + 3\) et un cercle de rayon \(x\) est de 348,56 cm². Sachant que \(\pi \approx 3,14\), détermine le rayon \(x\).

Réponse

Résumé des réponses :

1. x = 150
   
2. x = 54
   
3. x = 420
   
4. x = 2000
   
5. Vincent a 5 ans
   
6. 280 spectateurs au parterre
   
7. x ≈ 17 cm

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque problème.

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Exercice 1

Énoncé : Trouve un nombre x tel que les quatre cinquièmes de ce nombre augmentés de 15 soient égaux au nombre diminué du dixième de ce nombre.

1. Écrivons l’expression « les quatre cinquièmes de x » : (4/5)x.
   
2. On ajoute 15 à ce résultat, ce qui donne (4/5)x + 15.
   
3. La seconde expression est « le nombre diminué du dixième de ce nombre » ; cela signifie x – (1/10)x.
   
4. L’égalité à établir est donc : (4/5)x + 15 = x – (1/10)x.

Pour simplifier, mettons x – (1/10)x sous une forme commune.
x s’écrit (10/10)x donc :
  x – (1/10)x = (10/10)x – (1/10)x = (9/10)x.

On a alors :
  (4/5)x + 15 = (9/10)x.

Afin de se débarrasser des fractions, multiplions toute l’équation par 10 (le dénominateur commun) :

  10 × (4/5)x + 10 × 15 = 10 × (9/10)x
  8x + 150 = 9x.

Pour isoler x, soustrayons 8x des deux côtés :

  150 = 9x – 8x
  150 = x.

Réponse du problème 1 : x = 150.

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Exercice 2

Énoncé : La longueur d’un rectangle est x et sa largeur est (2/3)x. Sachant que le périmètre du rectangle est égal à 180, détermine la longueur x.

1. Le périmètre d’un rectangle se calcule par la formule : P = 2 × (longueur + largeur).
   
2. Ici, longueur = x et largeur = (2/3)x.
   
3. On a donc :
     2 × (x + (2/3)x) = 180.

Simplifions l’expression entre parenthèses :
  x + (2/3)x = (3/3)x + (2/3)x = (5/3)x.

L’équation devient :
  2 × (5/3)x = 180
  (10/3)x = 180.

Pour résoudre, multiplions les deux côtés par 3 pour éliminer le dénominateur :

  10x = 180 × 3
  10x = 540.

Divisons ensuite par 10 :

  x = 540 / 10
  x = 54.

Réponse du problème 2 : x = 54.

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Exercice 3

Énoncé : Une somme d’argent x est réduite en soustrayant la moitié de cette somme et un tiers de cette somme. Il reste 70 euros. Détermine la somme initiale x.

1. On part de la somme x.
   
2. On retire (1/2)x et (1/3)x. L’expression se traduit par :
     x – (1/2)x – (1/3)x = 70.

Pour simplifier, cherchons un dénominateur commun pour les fractions. Le plus petit dénominateur commun pour 2 et 3 est 6 :

  x = (6/6)x,
  (1/2)x = (3/6)x et
  (1/3)x = (2/6)x.

L’équation devient :
  (6/6)x – (3/6)x – (2/6)x = 70
  (6 – 3 – 2)x/6 = 70
  (1/6)x = 70.

Pour isoler x, multiplions par 6 :

  x = 70 × 6
  x = 420.

Réponse du problème 3 : La somme initiale est 420 euros.

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Exercice 4

Énoncé : Une somme d’argent de 4650 euros est répartie entre trois personnes. La première personne reçoit (2/5)x, la deuxième personne reçoit x, et la troisième personne reçoit x – 150. Détermine la valeur de x.

1. La somme totale des parts est égale à 4650 euros. On écrit donc l’équation :
     (2/5)x + x + (x – 150) = 4650.

2. Simplifions l’équation en regroupant les termes en x.   Les termes en x sont : (2/5)x + x + x.
     Sachant que x = (5/5)x, on a :
     (2/5)x + (5/5)x + (5/5)x = (2/5 + 5/5 + 5/5)x = (12/5)x.

L’équation se met sous la forme :
  (12/5)x – 150 = 4650.

3. Pour isoler (12/5)x, ajoutons 150 des deux côtés :

  (12/5)x = 4650 + 150
  (12/5)x = 4800.

4. Multiplions ensuite chaque côté par 5 pour éliminer le dénominateur :

  12x = 4800 × 5
  12x = 24000.

5. Divisons par 12 pour isoler x :

  x = 24000 / 12
  x = 2000.

Réponse du problème 4 : x = 2000.

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Exercice 5

Énoncé : Vincent a x ans et François a 5x ans. Dans dix ans, trois fois l’âge de Vincent sera égal à l’âge de François à ce moment-là augmenté de 10 ans. Détermine l’âge de Vincent.

1. Dans dix ans, l’âge de Vincent sera x + 10 et celui de François sera 5x + 10.
   

2. L’énoncé indique que :
     3 × (x + 10) = (5x + 10) + 10.

3. Simplifions l’équation :   3(x + 10) = 5x + 20
     3x + 30 = 5x + 20.

4. Soustrayons 3x de chaque côté :

  30 = 2x + 20.

5. Soustrayons 20 :

  10 = 2x.

6. Divisons par 2 :

  x = 5.

Réponse du problème 5 : Vincent a 5 ans.

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Exercice 6

Énoncé : Dans une salle de spectacle, il y a x spectateurs au parterre et 360 – x spectateurs au balcon. Les billets coûtent 10 euros au parterre et 12 euros au balcon. Le montant total des recettes est de 3760 euros. Détermine le nombre de spectateurs au parterre.

1. La recette provenant du parterre est 10 × x euros.
   
2. Celle provenant du balcon est 12 × (360 – x) euros.
   
3. La somme des recettes donne l’équation :

  10x + 12(360 – x) = 3760.

4. Développons la parenthèse :

  10x + 4320 – 12x = 3760.

5. Regroupons les termes semblables :

  (10x – 12x) + 4320 = 3760
  –2x + 4320 = 3760.

6. Isolons –2x en soustrayant 4320 des deux côtés :

  –2x = 3760 – 4320
  –2x = –560.

7. Divisons par –2 :

  x = (–560) / (–2)
  x = 280.

Réponse du problème 6 : Le nombre de spectateurs au parterre est 280.

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Exercice 7

Énoncé : La différence d’aire entre un cercle de rayon x + 3 et un cercle de rayon x est de 348,56 cm². Sachant que π ≈ 3,14, détermine le rayon x.

1. L’aire d’un cercle se calcule par la formule A = πr².
   
2. L’aire du grand cercle est π(x + 3)² et celle du petit cercle est πx².
   
3. La différence d’aire est donc :

  π[(x + 3)² – x²] = 348,56.

4. Développons (x + 3)² :

  (x + 3)² = x² + 6x + 9.

5. La différence se simplifie :

  π[(x² + 6x + 9) – x²] = π(6x + 9) = 348,56.

6. Remplaçons π par 3,14 :

  3,14(6x + 9) = 348,56.

7. Pour isoler 6x + 9, divisons par 3,14 :

  6x + 9 = 348,56 / 3,14.

Calculons 348,56 / 3,14.
  On remarque que 3,14 × 111 ≈ 348,54, donc de très près :   6x + 9 ≈ 111.

8. Soustrayons 9 des deux côtés :

  6x ≈ 111 – 9
  6x ≈ 102.

9. Divisons par 6 :

  x ≈ 102 / 6
  x ≈ 17.

Réponse du problème 7 : Le rayon x est environ 17 cm.

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Récapitulatif des réponses :
1. x = 150
2. x = 54
3. x = 420
4. x = 2000
5. Vincent a 5 ans
6. 280 spectateurs au parterre
7. x ≈ 17 cm