Exercice 22
Résoudre les équations littérales suivantes (x est l’inconnue ; \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\)) :
\(\dfrac{x}{ab} - \dfrac{x}{a} = \dfrac{1}{b} - 1\)
\(\dfrac{bx}{a} - 1 = \dfrac{a}{b} - x\)
\(\dfrac{x - a}{a^{2}b} = \dfrac{x + b}{ab^{2}}\)
\(\dfrac{ax}{b} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a}{b^{2}} + \dfrac{2 - bx}{b}\)
\(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{x} + \dfrac{b}{a}\)
\(\dfrac{x + b}{a} + \dfrac{b^{2}x}{2} = \dfrac{(a + b)^{2}}{2a^{2}} + \dfrac{x}{a}\)
Réponse
Voici le résumé en une réponse très courte :
- (x/(ab)) – (x/a) = (1/b) – 1 ⇒ Si b ≠ 1, x = a ; si b = 1, x est
quelconque.
- (bx)/a – 1 = a/b – x ⇒ Si a + b ≠ 0, x = a/b ; si a + b = 0, x est
quelconque.
- (x – a)/(a²b) = (x + b)/(ab²) ⇒ Si b ≠ a, x = (2ab)/(b – a) ; si b =
a, pas de solution.
- (ax)/b – 1/a = a/(b²) + (2 – bx)/b ⇒ Si a + b ≠ 0, x = (a + b)/(ab)
; si a + b = 0, x est quelconque.
- a/x + b/a = b/x + b/a ⇒ Si a = b, toutes valeurs de x ≠ 0
conviennent ; sinon, aucune solution.
- (x + b)/a + (b²x)/2 = (a + b)²/(2a²) ⇒ x = (a² + b²)/(a²b²).
Corrigé détaillé
Nous allons résoudre chacune des équations pas à pas en détaillant la démarche. Dans chaque exercice, nous partons de l’équation donnée et nous utilisons, lorsque cela est possible, la multiplication par un dénominateur commun afin d’éliminer les fractions. On rappelle que a et b sont non nuls et que x est l’inconnue. Soyez attentifs aux cas particuliers qui peuvent apparaître (par exemple, une quantité pouvant s’annuler et conduire à une équation toujours vraie ou à une impossibilité).
────────────────────────────── 1) Équation : (x/(ab)) – (x/a) = (1/b) – 1
1.1) On écrit le membre de gauche en mettant x en facteur : x/(ab) – x/a = x [1/(ab) – 1/a].
1.2) Pour combiner les termes dans le crochet, on écrit 1/a sous le même dénominateur que 1/(ab) : 1/a = b/(ab), donc 1/(ab) – 1/a = (1 – b)/(ab).
1.3) L’équation devient alors : x · (1 – b)/(ab) = (1/b) – 1.
1.4) Le membre de droite peut aussi s’écrire avec un dénominateur commun : (1/b) – 1 = (1 – b)/b.
1.5) L’équation s’écrit donc : x · (1 – b)/(ab) = (1 – b)/b.
Maintenant, il faut distinguer deux cas :
◊ Cas 1 : (1 – b) ≠ 0 (c’est-à-dire b ≠ 1)
On peut diviser par (1 – b) puisque ce nombre est non nul. On obtient : x/(ab) = 1/b. Multipliez ensuite par ab pour isoler x : x = (ab)·(1/b) = a.
◊ Cas 2 : (1 – b) = 0, c’est-à-dire b = 1
Dans ce cas, le terme (1 – b) est nul et l’équation se transforme en : 0 = 0. L’égalité est satisfaite quel que soit x.
Donc, la solution de l’équation 1 est : – Si b ≠ 1, alors x = a. – Si b = 1, l’équation est vraie pour tout x (x ∈ ℝ).
────────────────────────────── 2) Équation : (bx)/a – 1 = a/b – x
2.1) Pour éliminer les dénominateurs, multiplions toute l’équation par ab (a et b sont non nuls) : ab · [(bx)/a – 1] = ab · [a/b – x].
Calculons chaque terme : • ab·(bx)/a = b²x (puisque a s’annule), • ab·1 = ab, • ab·(a/b) = a² (puisque b s’annule), • ab·x = abx.
Ainsi, l’équation devient : b²x – ab = a² – abx.
2.2) Regroupons les termes en x d’un côté et les constantes de l’autre : b²x + abx = a² + ab.
2.3) Factorisons x à gauche : x (b² + ab) = a² + ab.
Remarquons que b² + ab = b(a + b) et a² + ab = a(a + b). On distingue alors deux cas :
◊ Cas 1 : (a + b) ≠ 0
On divise par (a+b) (non nul) : x · b = a donc x = a/b.
◊ Cas 2 : a + b = 0
Ici, a + b = 0, c’est-à-dire b = –a. Dans ce cas, les deux membres (à l’origine) se réduisent de la manière suivante : L’équation après multiplication par ab donne : b²x – ab = a² – abx. Mais en remplaçant b par –a, on trouve qu’après simplification l’égalité est satisfaite pour tout x.
Ainsi, la solution de l’équation 2 est : – Si a + b ≠ 0, alors x = a/b. – Si a + b = 0, l’équation est vérifiée pour tout x (x ∈ ℝ).
────────────────────────────── 3) Équation : (x – a)/(a²b) = (x + b)/(ab²)
3.1) Pour se débarrasser des dénominateurs, multiplions l’équation par a²b² (non nul car a et b sont non nuls) : a²b² · [(x – a)/(a²b)] = a²b² · [(x + b)/(ab²)].
Simplifions : • À gauche : a²b²/(a²b) = b, et • À droite : a²b²/(ab²) = a.
L’équation devient alors : b (x – a) = a (x + b).
3.2) Développons les deux membres : b·x – a·b = a·x + a·b.
3.3) Regroupons les termes en x d’un côté : b·x – a·x = a·b + a·b ⟹ x (b – a) = 2ab.
On distingue ici :
◊ Cas 1 : b – a ≠ 0 (autrement dit, b ≠ a)
Divisons par (b – a) : x = (2ab)/(b – a).
◊ Cas 2 : b – a = 0, c’est-à-dire b = a
Remplaçons b par a dans l’équation initiale : (x – a)/(a³) = (x + a)/(a³) ⟹ x – a = x + a. Cette égalité conduit à : –a = a ⟹ 2a = 0. Comme a est non nul, cela est impossible. Il n’existe donc aucune solution dans ce cas.
Ainsi, la solution de l’équation 3 est : – Si b ≠ a, alors x = (2ab)/(b – a). – Si b = a, l’équation n’admet aucune solution.
────────────────────────────── 4) Équation : (ax)/b – 1/a = a/(b²) + (2 – bx)/b
4.1) Afin d’éliminer les fractions, multiplions toute l’équation par le dénominateur commun qui est a·b² (puisque a et b sont non nuls).
On écrit : a·b² · [(ax)/b] – a·b² · [1/a] = a·b² · [a/(b²)] + a·b² · [(2 – bx)/b].
Calculons terme par terme : • a·b² · (ax)/b = a²b x (puisque b²/b = b), • a·b² · (1/a) = b², • a·b² · [a/(b²)] = a², • a·b² · [(2 – bx)/b] = a·b (2 – bx).
L’équation devient : a²b x – b² = a² + a·b (2 – bx).
4.2) Développons le terme a·b (2 – bx) : a·b (2 – bx) = 2ab – ab² x.
L’équation est alors : a²b x – b² = a² + 2ab – ab² x.
4.3) Regroupons les termes contenant x d’un côté et les constantes de l’autre : a²b x + ab² x = a² + 2ab + b². Factorisons x à gauche : x (a²b + ab²) = a² + 2ab + b².
Remarquons que le facteur commun à gauche est ab, car : a²b + ab² = ab (a + b). De plus, on reconnait à droite le développement de (a + b)² : a² + 2ab + b² = (a + b)².
L’équation devient : ab (a + b) x = (a + b)².
Maintenant, distinguons deux cas :
◊ Cas 1 : a + b ≠ 0
On divise par (a + b) (non nul) : ab·x = a + b ⟹ x = (a + b)/(ab).
◊ Cas 2 : a + b = 0
Si a + b = 0, alors l’équation obtenue se réduit à : 0 · x = 0, ce qui est vrai pour tout x. Il faut cependant vérifier que cette division n’est pas indispensable. En replaçant b = –a dans l’équation initiale, on trouve bien que l’égalité se vérifie pour tout x.
Donc, la solution de l’équation 4 est : – Si a + b ≠ 0, alors x = (a + b)/(ab). – Si a + b = 0, l’équation est vraie pour tout x (x ∈ ℝ).
────────────────────────────── 5) Équation : a/x + b/a = b/x + b/a
5.1) Nous constatons que le terme b/a apparaît de part et d’autre de l’équation. Soustrayons-le des deux côtés : a/x = b/x.
5.2) Multiplions ensuite par x (en supposant x ≠ 0, car x est au dénominateur) : a = b.
La conclusion est la suivante : • Si a = b, alors l’équation se réduit à une égalité vraie quelque soit la valeur de x (avec la condition x ≠ 0, car l’expression a/x n’est définie que pour x non nul). • Si a ≠ b, l’égalité a = b est fausse, et l’équation n’admet aucune solution.
Ainsi, la solution de l’équation 5 est : – Si a = b, alors x ∈ ℝ∖{0}. – Si a ≠ b, aucune solution n’existe.
────────────────────────────── 6) Équation : (x + b)/a + (b²x)/2 = (a + b)²/(2a²) + x/a
6.1) Commençons par regrouper dans le membre de gauche les termes semblables. On remarque que l’on retrouve x/a à droite. Pour simplifier, soustrayons x/a des deux côtés :
[(x + b)/a – x/a] + (b²x)/2 = (a + b)²/(2a²).
6.2) Calculons (x + b)/a – x/a : ((x + b) – x)/a = b/a.
L’équation devient donc : (b/a) + (b²x)/2 = (a + b)²/(2a²).
6.3) Isolez le terme contenant x. Soustrayez b/a du côté gauche : (b²x)/2 = (a + b)²/(2a²) – b/a.
Pour pouvoir soustraire, il est judicieux d’exprimer b/a avec le dénominateur 2a² : b/a = (2ab)/(2a²).
L’équation s’écrit alors : (b²x)/2 = [ (a + b)² – 2ab ]/(2a²).
6.4) Rappelons que (a + b)² = a² + 2ab + b². Donc : (a + b)² – 2ab = a² + 2ab + b² – 2ab = a² + b².
L’équation devient : (b²x)/2 = (a² + b²)/(2a²).
En multipliant par 2 (de chaque côté), nous obtenons : b²x = (a² + b²)/(a²).
Finalement, en isolant x (avec b² ≠ 0) : x = (a² + b²)/(a²·b²).
Ainsi, la solution de l’équation 6 est : x = (a² + b²)/(a²b²).
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
1) Si b ≠ 1, x = a ; si b = 1, alors x ∈ ℝ (tous nombres réels).
2) Si a + b ≠ 0, x = a/b ; si a + b = 0, alors x ∈ ℝ.
3) Si b ≠ a, x = (2ab)/(b – a) ; si b = a, aucune solution.
4) Si a + b ≠ 0, x = (a + b)/(ab) ; si a + b = 0, alors x ∈ ℝ.
5) Si a = b, alors x ∈ ℝ∖{0} (x peut être n’importe quel nombre réel non nul) ; sinon, aucune solution.
6) x = (a² + b²)/(a²b²).
Cette démarche détaillée permet de comprendre la résolution étape par étape et les précautions à prendre quant aux cas particuliers.