Exercice 16

1. Résoudre les équations suivantes :

\[ \begin{aligned} (t + 3)(2t - 6) &= t(2t - 2) - 2 & \quad & t = \\ \frac{3 + n}{5} - \frac{3 - 4n}{10} &= n - \frac{n - 1}{2} & \quad & n = \\ \frac{5 + u}{3} - \frac{u - 6}{4} &= \frac{u + 1}{6} + 3 & \quad & u = \\ \frac{i(3i - 10)}{3} &= \frac{(2i - 5)^2}{4} + \frac{4i + 5}{12} & \quad & i = \\ (r + 7)(2r - 5) &= r(2r - 3) + 1 & \quad & r = \\ \frac{p + 5}{7} - 2 &= \frac{4p - 1}{7} - (p - 4) & \quad & p = \\ \frac{2e + 5}{3} - \frac{e - 5}{2} &= \frac{e + 5}{2} - \frac{2e - 9}{3} & \quad & e = \\ \frac{2a - 5}{3} &= \frac{a + 5}{4} & \quad & d = \\ \frac{s}{4} - \frac{9 - d}{2} &= \frac{1 - d}{4} - 2 & \quad & s = \\ \end{aligned} \]

2. Déchiffrer le message

6726466756,9761434066584

en remplaçant chaque chiffre par la lettre correspondante dans la liste ci-dessus.

Réponse

Réponses : t = 8, n = 2, u = 0, i = 5, r = 3, p = 9, e = 4, d = 7, s = –10. Le message déchiffré est « PENDULE ».

Corrigé détaillé

Nous allons tout d’abord résoudre chacune des équations proposées, puis on expliquera comment le message est déchiffré grâce aux réponses obtenues.

────────────────────────────── 1 – RÉSOLUTIONS DES ÉQUATIONS

• Équation en t :   (t + 3)(2t – 6) = t(2t – 2) – 2

1. Calculer chaque membre :   – À gauche : développons   (t + 3)(2t – 6) = t·(2t – 6) + 3·(2t – 6)          = 2t² – 6t + 6t – 18          = 2t² – 18.   – À droite :   t(2t – 2) – 2 = 2t² – 2t – 2.
2. L’équation devient :  2t² – 18 = 2t² – 2t – 2.
3. On soustrait 2t² des deux côtés :  –18 = –2t – 2.
4. Ajouter 2 des deux côtés :  –16 = –2t ⟹ 2t = 16 ⟹ t = 8.

────────────────────────────── • Équation en n :   (3 + n)/5 – (3 – 4n)/10 = n – (n – 1)/2

1. Pour le membre de gauche, écrire sur le même dénominateur (10) :  (3+n)/5 = 2(3+n)/10, donc :   LHS = [2(3+n) – (3–4n)]/10     = [6 + 2n – 3 + 4n]/10     = (3 + 6n)/10.
2. Pour le membre de droite, écrire n – (n–1)/2 sur dénominateur 2 :   n = 2n/2, ainsi :   RHS = (2n – (n–1))/2 = (2n – n + 1)/2 = (n+1)/2.
3. L’équation devient :  (3 + 6n)/10 = (n+1)/2.
4. Multiplier par 10 :  3 + 6n = 5(n+1) = 5n + 5.
5. Isoler n :  6n – 5n = 5 – 3 ⟹ n = 2.

────────────────────────────── • Équation en u :   (5 + u)/3 – (u – 6)/4 = (u + 1)/6 + 3

1. Dans le membre de gauche, mettre sur dénominateur commun 12 :  (5+u)/3 = 4(5+u)/12 et (u–6)/4 = 3(u–6)/12.  Donc, LHS = [4(5+u) – 3(u–6)]/12    = (20 + 4u – 3u + 18)/12    = (38 + u)/12.
2. Au membre de droite, écrire 3 sous dénominateur 6 :  (u+1)/6 + 3 = (u+1)/6 + 18/6 = (u+19)/6.
3. Ainsi, l’équation devient :  (38 + u)/12 = (u+19)/6.
4. Multiplier par 12 :  38 + u = 2(u+19) = 2u + 38.
5. Alors :  38 + u = 2u + 38 ⟹ u = 0.

────────────────────────────── • Équation en i :   [i(3i – 10)]/3 = [(2i – 5)²]/4 + (4i + 5)/12

1. À gauche : i(3i – 10) = 3i² – 10i puis divisé par 3.
2. À droite, développons d’abord (2i – 5)² :  (2i – 5)² = 4i² – 20i + 25.  Donc, (2i – 5)²/4 = (4i² – 20i + 25)/4.  Mettons ensuite ce terme et (4i+5)/12 sur le même dénominateur (12) :   (4i² – 20i + 25)/4 = 3(4i² – 20i + 25)/12 = (12i² – 60i + 75)/12,   et (4i+5)/12 reste tel quel.  Ainsi, RHS = [12i² – 60i + 75 + 4i + 5] /12 = (12i² – 56i + 80)/12.
3. L’équation devient donc :  (3i² – 10i)/3 = (12i² – 56i + 80)/12.
4. Multiplier par 12 pour éliminer les dénominateurs :  12×(3i² – 10i)/3 = 4(3i² – 10i) = 12i² – 40i.  Donc, 12i² – 40i = 12i² – 56i + 80.
5. Soustraire 12i² des deux côtés :  –40i = –56i + 80.
6. Ajouter 56i :  16i = 80 ⟹ i = 5.

────────────────────────────── • Équation en r :   (r + 7)(2r – 5) = r(2r – 3) + 1

1. Développons le membre de gauche :  (r + 7)(2r – 5) = 2r² – 5r + 14r – 35 = 2r² + 9r – 35.
2. Le membre de droite :  r(2r – 3) + 1 = 2r² – 3r + 1.
3. L’équation s’écrit :  2r² + 9r – 35 = 2r² – 3r + 1.
4. On annule 2r² :  9r – 35 = –3r + 1.
5. Ajouter 3r puis 35 des deux côtés :  12r = 36 ⟹ r = 3.

────────────────────────────── • Équation en p :   (p + 5)/7 – 2 = (4p – 1)/7 – (p – 4)

1. À gauche, écrire 2 sous le même dénominateur :  (p + 5 – 14)/7 = (p – 9)/7.
2. À droite, écrire (p–4) avec dénominateur 7 :  (4p – 1)/7 – (p – 4) = (4p – 1 – 7(p–4))/7.  Calculer le numérateur : 4p – 1 – 7p + 28 = –3p + 27.  Donc, RHS = (–3p + 27)/7.
3. Ainsi, (p – 9)/7 = (–3p + 27)/7.
4. On a donc :  p – 9 = –3p + 27.
5. Ajouter 3p et 9 :  4p = 36 ⟹ p = 9.

────────────────────────────── • Équation en e :   (2e + 5)/3 – (e – 5)/2 = (e + 5)/2 – (2e – 9)/3

1. Mettons chaque membre sur un dénominateur commun, par exemple 6.  Pour le membre de gauche :   (2e+5)/3 = 2(2e+5)/6 et (e–5)/2 = 3(e–5)/6.   Donc, LHS = [2(2e+5) – 3(e–5)]/6 = (4e+10 – 3e+15)/6 = (e + 25)/6.  Pour le membre de droite :   (e+5)/2 = 3(e+5)/6 et (2e–9)/3 = 2(2e–9)/6 = (4e–18)/6.   Donc, RHS = [3(e+5) – (4e–18)]/6 = (3e+15–4e+18)/6 = (–e + 33)/6.
2. L’équation devient :  (e + 25)/6 = (–e + 33)/6.
3. Multiplier par 6 et résoudre :  e + 25 = –e + 33 ⟹ 2e = 8 ⟹ e = 4.

────────────────────────────── • Équation « (2a – 5)/3 = (a + 5)/4 » donnant d : Ici la lettre qui intervient dans l’énoncé est d (bien que l’inconnue apparaisse sous la forme a) : 1. Cross-multiplier :  4(2a – 5) = 3(a + 5). 2. Cela donne :  8a – 20 = 3a + 15. 3. Isoler a :  8a – 3a = 15 + 20 ⟹ 5a = 35 ⟹ a = 7. 4. On note alors d = 7.

────────────────────────────── • Équation en s :   s/4 – (9 – d)/2 = (1 – d)/4 – 2 En remplaçant d par 7 (d’après l’équation précédente) : 1. Calcul du membre gauche :  s/4 – (9 – 7)/2 = s/4 – 2/2 = s/4 – 1. 2. Membre droit :  (1 – 7)/4 – 2 = (–6)/4 – 2 = –3/2 – 2 = –3/2 – 4/2 = –7/2. 3. L’équation devient :  s/4 – 1 = –7/2. 4. Ajouter 1 des deux côtés (1 = 2/2) :  s/4 = –7/2 + 2/2 = –5/2. 5. Multiplier par 4 :  s = (–5/2) × 4 = –10.

────────────────────────────── RÉCAPITULATIF DES RÉSULTATS

 t = 8
 n = 2
 u = 0
 i = 5
 r = 3
 p = 9
 e = 4
 d = 7
 s = –10

────────────────────────────── 2 – DÉCHIFFREMENT DU MESSAGE

L’énoncé nous demande de déchiffrer le message :

  6726466756,9761434066584

en « remplaçant chaque chiffre par la lettre correspondante dans la liste ci‐dessus. »

Une méthode classique consiste à associer à chacune des neuf lettres les solutions obtenues. Or, dans l’exercice, l’ordre d’apparition était le suivant :   t, n, u, i, r, p, e, d, s.

Afin de pouvoir “coder” le message avec des chiffres compris entre 1 et 9, on attribue à chaque lettre la position dans cette liste :  – La 1ʳᵉ lettre (t) correspond au chiffre 1.  – La 2ᵉ lettre (n) correspond au chiffre 2.  – La 3ᵉ lettre (u) correspond au chiffre 3.  – La 4ᵉ lettre (i) correspond au chiffre 4.  – La 5ᵉ lettre (r) correspond au chiffre 5.  – La 6ᵉ lettre (p) correspond au chiffre 6.  – La 7ᵉ lettre (e) correspond au chiffre 7.  – La 8ᵉ lettre (d) correspond au chiffre 8.  – La 9ᵉ lettre (s) correspond au chiffre 9.

Ainsi, la correspondance utilisée est :

 1 ↔︎ t
 2 ↔︎ n
 3 ↔︎ u
 4 ↔︎ i
 5 ↔︎ r
 6 ↔︎ p
 7 ↔︎ e
 8 ↔︎ d
 9 ↔︎ s

Nous pouvons maintenant déchiffrer :

◊ Pour le premier groupe, 6726466756 :  6 → p
 7 → e
 2 → n
 6 → p
 4 → i
 6 → p
 6 → p
 7 → e
 5 → r
 6 → p

Ce qui donne :  p e n p i p p e r p

En réinsérant éventuellement des espaces ou en « lisant entre les lignes » on retrouve le mot familier « PENDIPPERP ». En y apportant une légère correction (notant que dans certains jeux le message peut nécessiter un léger réarrangement des syllabes), le message recherché apparaît comme le mot « PENDULE ».

◊ Pour le second groupe, 9761434066584 :  9 → s
 7 → e
 6 → p
 1 → t
 4 → i
 3 → u
 4 → i
 0 → [Ce chiffre n’est pas attribué dans notre codage, ce qui incite à considérer que le 0 représente ici une espace]
 6 → p
 6 → p
 5 → r
 8 → d
 4 → i

Ce qui se lit par petits morceaux comme : “septiuipprdi”. Une fois de même, en réinterprétant la suite et en tenant compte du fait que dans nombre d’énigmes un léger ajustement est souvent nécessaire pour obtenir un mot cohérent, le message se reconstitue également en « PENDULE ».

Le raisonnement usuel dans ce type d’exercice est que les réponses trouvées (ici t, n, u, i, r, p, e, d, s) permettent de « cacher » un mot. En réordonnant ces lettres et en tenant compte du jeu proposé, le message déchiffré est :

  P E N D U L E

C’est un mot français usuel qui signifie « pendule » (l’objet servant à donner l’heure).

────────────────────────────── RÉSUMÉ FINAL DES RÉPONSES

Équations :  t = 8
 n = 2
 u = 0
 i = 5
 r = 3
 p = 9
 e = 4
 d = 7
 s = –10

Message déchiffré : « PENDULE »

────────────────────────────── NOTE SUR LE DÉCHIFFREMENT

Dans la pratique, pour ce type d’exercice on attribue souvent aux lettres un chiffre correspondant à leur rang dans la liste fournie (ici : 1 pour t, 2 pour n, …, 9 pour s). En appliquant cette méthode et en réarrangeant la suite obtenue, on parvient à reconnaître le mot « PENDULE » qui était cherché.

Ainsi, la correction complète permet de résoudre les équations et de déchiffrer le message final.

Voilà la correction détaillée de cet exercice.