Exercice 15

Résoudre les équations suivantes :

1. \(2x - 3 - 5x = 1 - x + 5\)
   
2. \(12 - 5x - 2 = -4x + 2 - 5x\)
   
3. \(3x - (4x - 8) = 2x + 3 - (x - 2)\)
   
4. \(5 \cdot (3 - x) - 4 \cdot (2 - x) = 3 \cdot (x + 4) - 6\)
   
5. \(1 - (7 - 2x) - x = 5x - 2 \cdot (x - 4)\)
   
6. \(x - ((3x + 2) - 2 \cdot (2 - x)) = 1 - (2x - 3 \cdot (2x - 1))\)

Réponse

Solutions :

1. \(x = -\frac{9}{2}\)
2. \(x = -2\)
3. \(x = \frac{3}{2}\)
4. \(x = \frac{1}{4}\)
5. \(x = -7\)
6. \(x = \frac{1}{2}\)

Corrigé détaillé

Correction des équations

1) \(2x - 3 - 5x = 1 - x + 5\)

Étape 1 : Simplifier les deux côtés de l’équation.

À gauche : \[2x - 5x - 3 = -3x - 3\]

À droite : \[1 + 5 - x = 6 - x\]

Étape 2 : Écrire l’équation simplifiée. \[-3x - 3 = 6 - x\]

Étape 3 : Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre.

Ajouter \(3x\) des deux côtés : \[-3 = 6 + 2x\]

Étape 4 : Isoler \(x\).

Soustraire 6 des deux côtés : \[-3 - 6 = 2x\] \[-9 = 2x\]

Diviser par 2 : \[x = \frac{-9}{2}\]

Solution : \[x = -\frac{9}{2}\]

---

2) \(12 - 5x - 2 = -4x + 2 - 5x\)

Étape 1 : Simplifier les deux côtés de l’équation.

À gauche : \[12 - 2 - 5x = 10 - 5x\]

À droite : \[-4x - 5x + 2 = -9x + 2\]

Étape 2 : Écrire l’équation simplifiée. \[10 - 5x = -9x + 2\]

Étape 3 : Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre.

Ajouter \(9x\) des deux côtés : \[10 + 4x = 2\]

Étape 4 : Isoler \(x\).

Soustraire 10 des deux côtés : \[4x = 2 - 10\] \[4x = -8\]

Diviser par 4 : \[x = -2\]

Solution : \[x = -2\]

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3) \(3x - (4x - 8) = 2x + 3 - (x - 2)\)

Étape 1 : Développer les parenthèses.

À gauche : \[3x - 4x + 8 = -x + 8\]

À droite : \[2x + 3 - x + 2 = x + 5\]

Étape 2 : Écrire l’équation simplifiée. \[-x + 8 = x + 5\]

Étape 3 : Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre.

Soustraire \(x\) des deux côtés : \[-2x + 8 = 5\]

Étape 4 : Isoler \(x\).

Soustraire 8 des deux côtés : \[-2x = 5 - 8\] \[-2x = -3\]

Diviser par \(-2\) : \[x = \frac{3}{2}\]

Solution : \[x = \frac{3}{2}\]

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4) \(5 \cdot (3 - x) - 4 \cdot (2 - x) = 3 \cdot (x + 4) - 6\)

Étape 1 : Développer les parenthèses.

À gauche : \[5 \cdot 3 - 5x - 4 \cdot 2 + 4x = 15 - 5x - 8 + 4x = 7 - x\]

À droite : \[3x + 12 - 6 = 3x + 6\]

Étape 2 : Écrire l’équation simplifiée. \[7 - x = 3x + 6\]

Étape 3 : Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre.

Ajouter \(x\) des deux côtés : \[7 = 4x + 6\]

Étape 4 : Isoler \(x\).

Soustraire 6 des deux côtés : \[1 = 4x\]

Diviser par 4 : \[x = \frac{1}{4}\]

Solution : \[x = \frac{1}{4}\]

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5) \(1 - (7 - 2x) - x = 5x - 2 \cdot (x - 4)\)

Étape 1 : Développer les parenthèses.

À gauche : \[1 - 7 + 2x - x = -6 + x\]

À droite : \[5x - 2x + 8 = 3x + 8\]

Étape 2 : Écrire l’équation simplifiée. \[-6 + x = 3x + 8\]

Étape 3 : Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre.

Soustraire \(x\) des deux côtés : \[-6 = 2x + 8\]

Étape 4 : Isoler \(x\).

Soustraire 8 des deux côtés : \[-14 = 2x\]

Diviser par 2 : \[x = -7\]

Solution : \[x = -7\]

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6) \(x - ((3x + 2) - 2 \cdot (2 - x)) = 1 - (2x - 3 \cdot (2x - 1))\)

Étape 1 : Développer les parenthèses.

À gauche : \[ x - [3x + 2 - 4 + 2x] = x - [5x - 2] = x - 5x + 2 = -4x + 2 \]

À droite : \[ 1 - [2x - 6x + 3] = 1 - [-4x + 3] = 1 + 4x - 3 = 4x - 2 \]

Étape 2 : Écrire l’équation simplifiée. \[-4x + 2 = 4x - 2\]

Étape 3 : Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre.

Ajouter \(4x\) des deux côtés : \[2 = 8x - 2\]

Étape 4 : Isoler \(x\).

Ajouter 2 des deux côtés : \[4 = 8x\]

Diviser par 8 : \[x = \frac{1}{2}\]

Solution : \[x = \frac{1}{2}\]