Exercice 10

1. La somme de quatre nombres entiers consécutifs est égale à 300.
   Quels sont ces nombres ?

2. Clara pense à un nombre. Elle le multiplie par 5, puis soustrait 10 du produit. Elle obtient le même résultat que si elle avait ajouté 20 au nombre de départ.
   À quel nombre a-t-elle pensé ?

3. Lucas et Emma affichent le même nombre sur l’écran de leur téléphone.
   Lucas multiplie ce nombre par 7, puis ajoute 4,
   Emma, elle, soustrait 15 au nombre affiché.
   Ils obtiennent exactement le même résultat.
   Quel nombre ont-ils affiché au départ ?

Réponse

1. Aucune solution
   
2. 7,5
   
3. –19/6

Corrigé détaillé

Nous allons traiter chacune des questions étape par étape.

────────────────────────────── Question a)
« La somme de quatre nombres entiers consécutifs est égale à 300. Quels sont ces nombres ? »

1. On représente les quatre nombres entiers consécutifs par :
     n, n + 1, n + 2 et n + 3.

2. Leur somme s’exprime par :
     n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6.

3. D’après l’énoncé, cette somme vaut 300, donc :
     4n + 6 = 300.

4. Pour déterminer n, on résout l’équation :
     4n = 300 − 6
     4n = 294
     n = 294 / 4
     n = 73,5.

5. Comme n doit être un nombre entier, et que 73,5 n’est pas un entier, il n’existe aucun ensemble de quatre nombres entiers consécutifs dont la somme est 300.

Réponse a) : Aucun ensemble d’entiers consécutifs ne donne 300.

────────────────────────────── Question b)
« Clara pense à un nombre. Elle le multiplie par 5, puis soustrait 10 du produit. Elle obtient le même résultat que si elle avait ajouté 20 au nombre de départ. À quel nombre a-t-elle pensé ? »

1. Soit x le nombre auquel Clara pense.

2. D’après l’énoncé, la première opération donne :
     5x − 10.

3. La seconde opération donne :
     x + 20.

4. Les deux résultats étant égaux, on a l’équation :
     5x − 10 = x + 20.

5. Pour résoudre cette équation, on commence par regrouper les termes en x d’un côté :
     5x − x = 20 + 10
     4x = 30.

6. On divise par 4 pour isoler x :
     x = 30 / 4
     x = 7,5.

Réponse b) : Clara a pensé au nombre 7,5.

────────────────────────────── Question c)
« Lucas et Emma affichent le même nombre sur l’écran de leur téléphone.
Lucas multiplie ce nombre par 7, puis ajoute 4,
Emma, elle, soustrait 15 au nombre affiché.
Ils obtiennent exactement le même résultat.
Quel nombre ont-ils affiché au départ ? »

1. Soit x le nombre affiché sur leur téléphone.

2. Pour Lucas, l’opération est :
     7x + 4.

3. Pour Emma, l’opération est :
     x − 15.

4. Le problème indique que ces deux opérations donnent le même résultat, ce qui se traduit par :
     7x + 4 = x − 15.

5. Pour résoudre, on regroupe les termes en x :
     7x − x = −15 − 4
     6x = −19.

6. On divise ensuite les deux côtés par 6 pour isoler x :
     x = −19 / 6.

Réponse c) : Le nombre affiché sur leurs téléphones est −19/6.

────────────────────────────── Bilan complet :
a) Aucun ensemble d’entiers consécutifs ne donne 300.
b) Clara a pensé au nombre 7,5.
c) Le nombre affiché par Lucas et Emma est −19/6.