Question : Chloé souhaite utiliser un service de musique en ligne. Son fournisseur lui propose les deux tarifs suivants :
| Nombre de chansons écoutées en 6 mois | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Prix payé en CHF | ||||
| avec Option A | ||||
| avec Option B |
On appelle \(x\) le nombre de chansons écoutées par Chloé.
Exprime en fonction de \(x\) la somme \(S_{A}\) payée avec l’option A.
Exprime en fonction de \(x\) la somme \(S_{B}\) payée avec l’option B.
Résous \(S_{A} = S_{B}\).
À partir de combien de chansons l’option B est-elle plus avantageuse ?
Pour comparer les options, l’Option A coûte \(2x\) CHF et l’Option B \(18 + 0,80x\) CHF. Les deux options sont égales à 15 chansons. Option A est préférable pour moins de 15 chansons, tandis que Option B est avantageuse au-delà de 15 chansons.
Examinons chaque partie de l’exercice étape par étape pour comprendre comment arriver aux réponses correctes.
Nous devons calculer le prix payé par Chloé pour les deux options tarifaires en fonction du nombre de chansons écoutées.
Le coût total est obtenu en multipliant le nombre de chansons par 2 CHF.
\[ S_A = 2 \times x \]
Le coût total est la somme de l’abonnement et du coût par chanson.
\[ S_B = 18 + 0,80 \times x \]
| Nombre de chansons écoutées en 6 mois (\(x\)) | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Prix payé en CHF | ||||
| avec Option A | \(2 \times 10 = 20\) | \(2 \times 20 = 40\) | \(2 \times 30 = 60\) | \(2 \times 40 = 80\) |
| avec Option B | \(18 + 0,80 \times 10 = 26\) | \(18 + 0,80 \times 20 = 34\) | \(18 + 0,80 \times 30 = 42\) | \(18 + 0,80 \times 40 = 50\) |
Remplissons le tableau :
| Nombre de chansons écoutées en 6 mois | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Prix payé en CHF | ||||
| avec Option A | 20 | 40 | 60 | 80 |
| avec Option B | 26 | 34 | 42 | 50 |
Pour déterminer quelle option est la plus avantageuse, comparons les prix des deux options pour chaque nombre de chansons écoutées.
| Nombre de chansons | Option A (CHF) | Option B (CHF) | Option la plus avantageuse |
|---|---|---|---|
| 10 | 20 | 26 | Option A |
| 20 | 40 | 34 | Option B |
| 30 | 60 | 42 | Option B |
| 40 | 80 | 50 | Option B |
L’Option A coûte 2 CHF par chanson. Donc, si Chloé écoute \(x\) chansons, le coût total est :
\[ S_{A} = 2x \]
L’Option B comprend un abonnement de 18 CHF plus 0,80 CHF par chanson. Donc, le coût total est :
\[ S_{B} = 18 + 0,80x \]
Nous devons trouver le nombre de chansons \(x\) pour lequel les deux options coûtent le même montant.
Égalisons les deux expressions :
\[ 2x = 18 + 0,80x \]
Soustrayons \(0,80x\) des deux côtés :
\[ 2x - 0,80x = 18 \]
\[ 1,20x = 18 \]
Divisons par 1,20 :
\[ x = \frac{18}{1,20} \]
\[ x = 15 \]
Solution : Les deux options coûtent la même chose lorsque Chloé écoute 15 chansons.
Nous avons trouvé que pour \(x = 15\), les deux options sont égales. Pour savoir quand l’Option B devient plus avantageuse, nous examinons les cas où \(x > 15\).
Conclusion : Lorsque Chloé écoute plus de 15 chansons, l’Option B est plus avantageuse.
Ainsi, en fonction du nombre de chansons que Chloé prévoit d’écouter en 6 mois, elle peut choisir l’option la plus économique.