Exercice 8

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(3x - 2 \leq x + 4\)
2. \(3x + 2 > 5x - 2\)
3. \(2x + 2 \geq x - 5\)
4. \(2 + x \geq 3x - 4\)
5. \(4x - 3 < -2x + 3\)
6. \(\frac{1}{2}x + 4 \leq 2\)

Réponse

Résumé des Solutions :

1. \(x \leq 3\)
2. \(x < 2\)
3. \(x \geq -7\)
4. \(x \leq 3\)
5. \(x < 1\)
6. \(x \leq -4\)

Corrigé détaillé

Corrections des Inéquations

1) \(3x - 2 \leq x + 4\)

Étapes de résolution :

1. Isoler les termes en \(x\) d’un côté : \[ 3x - 2 \leq x + 4 \quad \Rightarrow \quad 3x - x \leq 4 + 2 \] Ici, nous avons soustrait \(x\) des deux côtés et ajouté \(2\) des deux côtés.

2. Simplifier les termes : \[ 2x \leq 6 \]

3. Isoler \(x\) en divisant par 2 : \[ x \leq \frac{6}{2} \quad \Rightarrow \quad x \leq 3 \]

Solution : \[ x \leq 3 \]

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2) \(3x + 2 > 5x - 2\)

Étapes de résolution :

1. Isoler les termes en \(x\) d’un côté : \[ 3x + 2 > 5x - 2 \quad \Rightarrow \quad 3x - 5x > -2 - 2 \] Ici, nous avons soustrait \(5x\) des deux côtés et soustrait \(2\) des deux côtés.

2. Simplifier les termes : \[ -2x > -4 \]

3. Diviser par \(-2\) et inverser le sens de l’inégalité : \[ x < \frac{-4}{-2} \quad \Rightarrow \quad x < 2 \]

Solution : \[ x < 2 \]

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3) \(2x + 2 \geq x - 5\)

Étapes de résolution :

1. Isoler les termes en \(x\) d’un côté : \[ 2x + 2 \geq x - 5 \quad \Rightarrow \quad 2x - x \geq -5 - 2 \] Nous avons soustrait \(x\) des deux côtés et soustrait \(2\) des deux côtés.

2. Simplifier les termes : \[ x \geq -7 \]

Solution : \[ x \geq -7 \]

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4) \(2 + x \geq 3x - 4\)

Étapes de résolution :

1. Isoler les termes en \(x\) d’un côté : \[ 2 + x \geq 3x - 4 \quad \Rightarrow \quad x - 3x \geq -4 - 2 \] Nous avons soustrait \(3x\) des deux côtés et soustrait \(2\) des deux côtés.

2. Simplifier les termes : \[ -2x \geq -6 \]

3. Diviser par \(-2\) et inverser le sens de l’inégalité : \[ x \leq \frac{-6}{-2} \quad \Rightarrow \quad x \leq 3 \]

Solution : \[ x \leq 3 \]

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5) \(4x - 3 < -2x + 3\)

Étapes de résolution :

1. Isoler les termes en \(x\) d’un côté : \[ 4x - 3 < -2x + 3 \quad \Rightarrow \quad 4x + 2x < 3 + 3 \] Nous avons ajouté \(2x\) des deux côtés et ajouté \(3\) des deux côtés.

2. Simplifier les termes : \[ 6x < 6 \]

3. Isoler \(x\) en divisant par 6 : \[ x < \frac{6}{6} \quad \Rightarrow \quad x < 1 \]

Solution : \[ x < 1 \]

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6) \(\frac{1}{2}x + 4 \leq 2\)

Étapes de résolution :

1. Isoler le terme contenant \(x\) : \[ \frac{1}{2}x + 4 \leq 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}x \leq 2 - 4 \] Nous avons soustrait \(4\) des deux côtés.

2. Simplifier les termes : \[ \frac{1}{2}x \leq -2 \]

3. Isoler \(x\) en multipliant par 2 : \[ x \leq -2 \times 2 \quad \Rightarrow \quad x \leq -4 \]

Solution : \[ x \leq -4 \]

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Résumé des Solutions

1. \(x \leq 3\)
2. \(x < 2\)
3. \(x \geq -7\)
4. \(x \leq 3\)
5. \(x < 1\)
6. \(x \leq -4\)