Exercice 6

Résoudre les équations suivantes :

1. \[-(2x - 1) - [3x - (2 - 5x)] = -4x - 5x - [3 - (7x - 1)] + 2x\]
2. \[\frac{1}{4}x - 0,1 = 0,2x - 5\]
3. \[1,5 \cdot (4x - 3) = 0,8 \cdot (7x - 5)\]
4. \[4 - \frac{1}{6} \cdot (x - 3) = 3x - \frac{2x - 6}{3}\]
5. \[4 \cdot (x - 3) - \frac{1 - x}{3} = \frac{4x - 1}{3} + 3 \cdot (x - 4)\]
6. \[(x - 4)^2 - \frac{7}{2}x \cdot \left( \frac{x}{8} - 2 \right) = \left( \frac{3}{4}x - 2 \right)^2 + 12\]

Réponse

Réponses :
1. x = 7/10
2. x = –98
3. x = 5/4
4. x = 1
5. Toute valeur de x convient
6. x = 0

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des équations.

────────────────────────────── Exercice 1. Équation :   –(2x – 1) – [3x – (2 – 5x)] = –4x – 5x – [3 – (7x – 1)] + 2x

1. Développons le membre de gauche.  a) La première parenthèse : –(2x – 1) = –2x + 1.  b) La deuxième partie : [3x – (2 – 5x)]
      • Retirer la parenthèse intérieure : 3x – 2 + 5x = 8x – 2.    • On a alors : –(8x – 2) = –8x + 2.  c) En additionnant :    –2x + 1 – 8x + 2 = –10x + 3.

2. Simplifions le membre de droite.  a) Regroupons les termes devant x : –4x – 5x = –9x.  b) Dans la parenthèse : [3 – (7x – 1)]
      • Développons : 3 – 7x + 1 = 4 – 7x.    • Donc, –[3 – (7x – 1)] = –(4 – 7x) = –4 + 7x.  c) En ajoutant le terme restant (2x) :    –9x – 4 + 7x + 2x = (–9x + 7x + 2x) – 4 = 0x – 4 = –4.

L’équation se réduit donc à :   –10x + 3 = –4

3. Résolvons :  –10x = –4 – 3 = –7 ⟹ x = (–7)/(–10) = 7/10.

────────────────────────────── Exercice 2. Équation :   (1/4)x – 0,1 = 0,2x – 5

1. Pour éviter les décimaux, multiplions chaque terme par 20 (le dénominateur commun convenable).  a) (1/4)x × 20 = 5x.  b) 0,1 × 20 = 2 (puisque 0,1 = 1/10).  c) 0,2x × 20 = 4x (puisque 0,2 = 1/5).  d) 5 × 20 = 100. La nouvelle équation :   5x – 2 = 4x – 100.

2. Isolons x :   5x – 4x = –100 + 2 ⟹ x = –98.

────────────────────────────── Exercice 3. Équation :   1,5 · (4x – 3) = 0,8 · (7x – 5)

1. Pour travailler plus facilement avec des fractions, on peut écrire :   1,5 = 3/2 et 0,8 = 4/5. L’équation devient :   (3/2)(4x – 3) = (4/5)(7x – 5).

2. Multiplions chaque côté par 10 (le plus petit commun multiple de 2 et 5) afin d’éliminer les dénominateurs.  a) Côté gauche : 10 · (3/2)(4x – 3) = 5 · 3 · (4x – 3) = 15(4x – 3) = 60x – 45.  b) Côté droit : 10 · (4/5)(7x – 5) = 2 · 4 · (7x – 5) = 8(7x – 5) = 56x – 40.

L’équation devient :   60x – 45 = 56x – 40.

3. Isolons x :   60x – 56x = –40 + 45 ⟹ 4x = 5 ⟹ x = 5/4.

────────────────────────────── Exercice 4. Équation :   4 – (1/6) · (x – 3) = 3x – (2x – 6)/3

1. Dans le membre de droite, remarquez que :   (2x – 6)/3 = (2/3)(x – 3).

L’équation s’écrit alors :   4 – (1/6)(x – 3) = 3x – (2/3)(x – 3).

2. Multiplions tous les termes par 6 pour éliminer les dénominateurs.  a) 6 × 4 = 24.  b) 6 × (1/6)(x – 3) = x – 3.  c) 6 × 3x = 18x.  d) 6 × (2/3)(x – 3) = 4(x – 3).

L’équation devient :   24 – (x – 3) = 18x – 4(x – 3).

3. Développons et simplifions  a) À gauche :   24 – x + 3 = 27 – x.  b) À droite :   18x – 4x + 12 = 14x + 12. L’équation se transforme en :   27 – x = 14x + 12.

4. Isolons x :   27 – 12 = 14x + x ⟹ 15 = 15x ⟹ x = 1.

────────────────────────────── Exercice 5. Équation :   4 · (x – 3) – (1 – x)/3 = (4x – 1)/3 + 3 · (x – 4)

1. Pour éliminer les fractions, multiplions tous les termes par 3.  a) 3 · [4 · (x – 3)] = 12(x – 3).  b) (1 – x)/3 × 3 = 1 – x.  c) (4x – 1)/3 × 3 = 4x – 1.  d) 3 · [3 · (x – 4)] = 9(x – 4).

L’équation devient :   12(x – 3) – (1 – x) = (4x – 1) + 9(x – 4).

2. Développons chaque côté.  a) Côté gauche :   12x – 36 – 1 + x = 13x – 37.  b) Côté droit :   4x – 1 + 9x – 36 = 13x – 37.

3. On observe que   13x – 37 = 13x – 37. Ainsi l’égalité est vraie pour toute valeur de x. On en déduit que l’équation admet autant de solutions que possible, c’est-à-dire que toute valeur de x satisfait l’égalité.

────────────────────────────── Exercice 6. Équation :   (x – 4)² – (7/2)x · (x/8 – 2) = ( (3/4)x – 2)² + 12

1. Développons le premier membre.  a) (x – 4)² = x² – 8x + 16.  b) Calculons (7/2)x · (x/8 – 2) :   • Pour le premier terme : (7/2)x · (x/8) = (7x²)/(16).   • Pour le deuxième terme : (7/2)x · 2 = 7x.   Ainsi, (7/2)x · (x/8 – 2) = (7x²)/(16) – 7x.  c) Comme ce terme est soustrait, le premier membre devient :   x² – 8x + 16 – [(7x²)/(16) – 7x] = x² – 8x + 16 – (7x²)/(16) + 7x.   Réunissons les termes semblables :   • x² – (7x²)/(16) = (16x²/16 – 7x²/16) = (9x²)/(16).   • –8x + 7x = –x.   Donc, le membre de gauche s’écrit :    (9/16)x² – x + 16.

2. Développons le second membre.  a) Calculons ((3/4)x – 2)².   Utilisons la formule (a – b)² = a² – 2ab + b², avec a = (3/4)x et b = 2 :    • a² = (9/16)x².    • –2ab = –2 · (3/4)x · 2 = –3x.    • b² = 4.   Ainsi, ((3/4)x – 2)² = (9/16)x² – 3x + 4.  b) En ajoutant 12 :   (9/16)x² – 3x + 4 + 12 = (9/16)x² – 3x + 16.

3. L’équation devient alors :   (9/16)x² – x + 16 = (9/16)x² – 3x + 16.

4. En soustrayant (9/16)x² + 16 des deux côtés, il reste :   – x = – 3x.

5. En ajoutant 3x des deux côtés :   2x = 0 ⟹ x = 0.

────────────────────────────── Résumé des solutions :

1. x = 7/10
   
2. x = –98
   
3. x = 5/4
   
4. x = 1
   
5. Toute valeur de x convient.
   
6. x = 0

Ces explications détaillent chacune des étapes et les opérations réalisées pour parvenir aux solutions.