Exercice 4

Résoudre les équations suivantes :

1. \((2x + 1) \cdot \left(x^{2} + 9\right) \cdot \left(\dfrac{x}{3} - 1\right) \cdot \left(\dfrac{x - 2}{3}\right) = 0\)
2. \(\left(\dfrac{1}{2}x - 1\right)^{2} - 3x = (x - 3)^{2} - \dfrac{3}{4}x \cdot (x - 2)\)
3. \(1 - \dfrac{1}{4}(12 - x) = -\dfrac{1}{3} \cdot \left(8 + \dfrac{3}{4}x\right)\)
4. \(3 \cdot (x - 2) + \dfrac{x - 3}{2} = 2 \cdot (x - 2) - \dfrac{7 - 3x}{2}\)
5. \(\dfrac{2 + x}{5} - \dfrac{x - 1}{2} = -\left(\dfrac{4}{5}x + \dfrac{1}{10}\right)\)
6. \(\dfrac{5x + 4}{2} = \dfrac{1}{3} \cdot \left(1 - \dfrac{15}{2}x\right)\)

Réponse

Réponses :
1) x = –1/2, x = 3, x = 2
2) x = 16
3) x = –4/3
4) Tous les réels
5) x = –2
6) x = –1/3

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des équations pas à pas.

────────────────────────── 1) (2x + 1) · (x² + 9) · (x/3 – 1) · ((x – 2)/3) = 0

Rappel : Si un produit de facteurs est égal à 0, il suffit qu’un des facteurs soit égal à 0.

• Premier facteur : 2x + 1 = 0
  – On résout : 2x = –1
    x = –1/2

• Deuxième facteur : x² + 9 = 0
  – On obtient : x² = –9
    Comme le carré d’un nombre réel ne peut être négatif, il n’existe aucune solution réelle pour ce facteur.

• Troisième facteur : (x/3 – 1) = 0
  – On a : x/3 = 1
    x = 3

• Quatrième facteur : ((x – 2)/3) = 0
  – Cela signifie que : x – 2 = 0
    x = 2

Ainsi, pour que le produit soit nul, il faut que l’un des facteurs soit nul. Les solutions réelles sont donc :
x = –1/2, x = 3, et x = 2.

────────────────────────── 2) (½x – 1)² – 3x = (x – 3)² – (3/4)x · (x – 2)

Commencez par développer et simplifier chaque côté.

1. Développons le côté gauche :
     (½x – 1)² = (½x)² – 2·(½x)·1 + 1² = ¼x² – x + 1
     Donc, côté gauche : ¼x² – x + 1 – 3x = ¼x² – 4x + 1

2. Développons le côté droit :
     (i) (x – 3)² = x² – 6x + 9
     (ii) (3/4)x(x – 2) = (3/4)(x² – 2x) = (3/4)x² – (3/2)x
     Le côté droit devient donc :
       (x² – 6x + 9) – [(3/4)x² – (3/2)x]
       = x² – 6x + 9 – (3/4)x² + (3/2)x
       = (1 – 3/4)x² + (–6 + 3/2)x + 9
       = ¼x² – (9/2)x + 9

L’équation s’écrit alors :
  ¼x² – 4x + 1 = ¼x² – (9/2)x + 9

Pour éliminer le ¼x² commun, soustrayez ¼x² des deux côtés :
  –4x + 1 = –(9/2)x + 9

Multipliez ensuite toute l’équation par 2 pour se débarrasser de la fraction :
  2(–4x) + 21 = 2(–(9/2)x) + 29
  –8x + 2 = –9x + 18

Ajoutez 9x aux deux côtés :
  –8x + 9x + 2 = 18
  x + 2 = 18

Soustrayez 2 de chaque côté :
  x = 16

────────────────────────── 3) 1 – ¼(12 – x) = –⅓·(8 + (3/4)x)

Commencez par simplifier chaque membre.

1. Côté gauche :
     1 – ¼(12 – x) = 1 – (12/4) + (x/4)
     Sachant que 12/4 = 3, on a :
       1 – 3 = –2
     Donc, côté gauche = –2 + x/4

2. Côté droit :
     –⅓·(8 + (3/4)x) = –8/3 – (⅓·(3/4)x)
     Or, (⅓·(3/4)x) = x/4
     Donc, côté droit = –8/3 – x/4

L’équation devient :
  –2 + x/4 = –8/3 – x/4

Pour se débarrasser des dénominateurs, multipliez toute l’équation par 12 (qui est un multiple commun de 4 et 3) :
  12(–2) + 12(x/4) = 12(–8/3) – 12(x/4)
  –24 + 3x = –32 – 3x

Additionnez 3x aux deux côtés :
  –24 + 3x + 3x = –32
  –24 + 6x = –32

Ajoutez 24 aux deux côtés :
  6x = –32 + 24
  6x = –8

Divisez par 6 :
  x = –8/6 = –4/3

────────────────────────── 4) 3·(x – 2) + (x – 3)/2 = 2·(x – 2) – (7 – 3x)/2

D’abord, éliminons les fractions en multipliant toute l’équation par 2 (le dénominateur commun) :

  2·[3·(x – 2)] + 2·[(x – 3)/2] = 2·[2·(x – 2)] – 2·[(7 – 3x)/2]
Cela donne :
  6(x – 2) + (x – 3) = 4(x – 2) – (7 – 3x)

Développons chaque terme :

Côté gauche :
  6x – 12 + x – 3 = 7x – 15

Côté droit :
  4x – 8 – 7 + 3x = 7x – 15

Nous obtenons ainsi :
  7x – 15 = 7x – 15

Cette égalité est vraie pour tout nombre réel.
Donc, l’équation admet comme solution tous les nombres réels.

────────────────────────── 5) (2 + x)/5 – (x – 1)/2 = –[(4/5)x + 1/10]

Afin de simplifier, cherchons un dénominateur commun pour les fractions. Le plus petit commun multiple de 5, 2 et 10 est 10.

Multiplions chaque terme par 10 :

• Pour (2 + x)/5 : 10(2 + x)/5 = 2(2 + x) = 2x + 4
• Pour (x – 1)/2 : 10(x – 1)/2 = 5(x – 1) = 5x – 5
• Pour –[(4/5)x + 1/10] : 10[(4/5)x] = 8x et 10(1/10)=1, donc
  –[(8x) + 1] = –8x – 1

L’équation devient :
  (2x + 4) – (5x – 5) = –8x – 1

Faites attention aux signes lors de la soustraction :
  2x + 4 – 5x + 5 = –3x + 9

Nous avons donc :
  –3x + 9 = –8x – 1

Pour isoler x, ajoutez 8x aux deux côtés :
  –3x + 8x + 9 = –1
  5x + 9 = –1

Soustrayez 9 :
  5x = –10

Divisez par 5 :
  x = –2

────────────────────────── 6) (5x + 4)/2 = (1/3)·[1 – (15/2)x]

Pour éliminer les fractions, multiplions toute l’équation par 6, qui est le plus petit commun multiple de 2 et 3.

• Côté gauche :
  6(5x + 4)/2 = 3(5x + 4) = 15x + 12

• Côté droit :
  6(1/3)[1 – (15/2)x] = 2[1 – (15/2)x]
  Développons : 21 – 2*(15/2)x = 2 – 15x

Nous obtenons l’équation :
  15x + 12 = 2 – 15x

Additionnez 15x des deux côtés :
  15x + 15x + 12 = 2
  30x + 12 = 2

Soustrayez 12 :
  30x = 2 – 12 = –10

Divisez par 30 :
  x = –10/30 = –1/3

────────────────────────── Réponses finales :

1. x = –1/2, x = 3, x = 2
   
2. x = 16
   
3. x = –4/3
   
4. Toute valeur de x convient (l’équation est vraie pour tous les nombres réels).
   
5. x = –2
   
6. x = –1/3