Exercice 20

Question : On tend une corde de 50 km entre les rives du lac Léman, de Genève (GE) à Lausanne (VD), de telle sorte que ses deux extrémités soient à la surface de l’eau.

En raison de la courbure de la Terre, la corde s’enfoncera dans l’eau.

Dans ces conditions, quelle est la profondeur du milieu de la corde par rapport au niveau de l’eau ?

Réponse

La profondeur du milieu de la corde est d’environ 49 mètres.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Nous devons déterminer la profondeur du milieu de la corde de 50 km tendue entre Genève et Lausanne au-dessus du lac Léman, en tenant compte de la courbure de la Terre. Cette profondeur est due à la différence entre la longueur de la corde et la courbure de la Terre.

Étape 1 : Comprendre le problème

Lorsque nous tendons une corde entre deux points sur une surface courbée comme la Terre, la corde forme une ligne droite, tandis que la surface de la Terre est courbe. Cela entraîne une enfoncement de la corde au milieu par rapport à la surface de l’eau.

Étape 2 : Modéliser la situation

Considérons la Terre comme une sphère de rayon \(R\). La corde de longueur \(L = 50\,\text{km}\) est tendue entre deux points sur cette sphère.

Le schéma suivant illustre la situation :

• \(R\) : rayon de la Terre
• \(L\) : longueur de la corde
• \(h\) : profondeur du milieu de la corde par rapport au niveau de l’eau

(Remplacer par un schéma approprié si nécessaire)

Étape 3 : Utiliser la formule de la sagitta

La profondeur \(h\) correspond à la “sagitta” d’un cercle, donnée par la formule :

\[ h = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2} \]

Étape 4 : Appliquer les valeurs numériques

1. Convertir les unités :

   \[ L = 50\,\text{km} = 50\,000\,\text{m} \]

   Le rayon moyen de la Terre est approximativement :

   \[ R = 6\,371\,\text{km} = 6\,371\,000\,\text{m} \]

2. Calculer \(\frac{L}{2}\) :

   \[ \frac{L}{2} = \frac{50\,000\,\text{m}}{2} = 25\,000\,\text{m} \]

3. Calculer \(R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2\) :

   \[ R^2 = (6\,371\,000\,\text{m})^2 = 4.058 \times 10^{13}\,\text{m}^2 \]

   \[ \left(\frac{L}{2}\right)^2 = (25\,000\,\text{m})^2 = 6.25 \times 10^{8}\,\text{m}^2 \]

   \[ R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2 = 4.058 \times 10^{13}\,\text{m}^2 - 6.25 \times 10^{8}\,\text{m}^2 \approx 4.058 \times 10^{13}\,\text{m}^2 \]

   (La soustraction de \(6.25 \times 10^{8}\) à \(4.058 \times 10^{13}\) a peu d’impact en raison de l’écart d’échelle.)

4. Calculer la racine carrée :

   \[ \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2} \approx \sqrt{4.058 \times 10^{13}\,\text{m}^2} = 6\,371\,000\,\text{m} - h \]

5. Isoler \(h\) :

   \[ h = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2} \]

Étape 5 : Approximation pour simplifier le calcul

Pour des cordes beaucoup plus petites que le rayon de la Terre, on peut utiliser une approximation :

\[ h \approx \frac{L^2}{8R} \]

Étape 6 : Appliquer l’approximation

1. Calculer \(L^2\) :

   \[ L^2 = (50\,000\,\text{m})^2 = 2.5 \times 10^{9}\,\text{m}^2 \]

2. Calculer \(8R\) :

   \[ 8R = 8 \times 6\,371\,000\,\text{m} = 50\,968\,000\,\text{m} \]

3. Calculer \(h\) :

   \[ h \approx \frac{2.5 \times 10^{9}\,\text{m}^2}{50\,968\,000\,\text{m}} \approx 49\,\text{m} \]

Conclusion

La profondeur du milieu de la corde par rapport au niveau de l’eau est d’environ 49 mètres.