Question :
Sofia doit peindre un mur rectangulaire de \(84\,\text{m}\) de longueur et \(56\,\text{m}\) de hauteur à l’aide d’un
rouleau dont la largeur de peinture est de \(1{,}5\,\text{m}\). Pour minimiser la
distance totale parcourue, doit-elle peindre parallèlement à la longueur
ou à la hauteur du mur ?
Pour minimiser sa distance totale, Sofia doit peindre parallèlement à la hauteur du mur, parcourant ainsi 3 218,5 m au lieu de 3 247,5 m lorsqu’elle peint parallèlement à la longueur.
Correction détaillée :
Pour déterminer si Sofia doit peindre parallèlement à la longueur ou à la hauteur du mur afin de minimiser la distance totale parcourue, analysons les deux scénarios possibles.
Dans ce cas, le rouleau sera orienté verticalement, couvrant la hauteur du mur.
Calcul du nombre de bandes verticales nécessaires :
Chaque passage du rouleau couvre une largeur de \(1{,}5\,\text{m}\) en hauteur.
\[ \text{Nombre de bandes verticales} = \frac{H}{w} = \frac{56}{1{,}5} \approx 37{,}33 \]
Comme on ne peut pas avoir une fraction de bande, on arrondit au nombre entier supérieur :
\[ \text{Nombre de bandes verticales} = 38 \]
Calcul de la distance parcourue lors de la peinture :
Chaque bande horizontale a une longueur de \(84\,\text{m}\).
\[ \text{Distance totale pour la peinture} = \text{Nombre de bandes} \times L = 38 \times 84 = 3\,192\,\text{m} \]
Calcul de la distance parcourue lors du déplacement entre les bandes :
Après chaque bande, Sofia doit déplacer le rouleau horizontalement de \(1{,}5\,\text{m}\).
\[ \text{Distance totale pour les déplacements} = (38 - 1) \times 1{,}5 = 37 \times 1{,}5 = 55{,}5\,\text{m} \]
Distance totale parcourue dans ce scénario :
\[ \text{Distance totale} = 3\,192 + 55{,}5 = 3\,247{,}5\,\text{m} \]
Ici, le rouleau est orienté horizontalement, couvrant la longueur du mur.
Calcul du nombre de bandes horizontales nécessaires :
Chaque passage du rouleau couvre une largeur de \(1{,}5\,\text{m}\) en longueur.
\[ \text{Nombre de bandes horizontales} = \frac{L}{w} = \frac{84}{1{,}5} = 56 \]
Calcul de la distance parcourue lors de la peinture :
Chaque bande verticale a une hauteur de \(56\,\text{m}\).
\[ \text{Distance totale pour la peinture} = \text{Nombre de bandes} \times H = 56 \times 56 = 3\,136\,\text{m} \]
Calcul de la distance parcourue lors du déplacement entre les bandes :
Après chaque bande, Sofia doit déplacer le rouleau verticalement de \(1{,}5\,\text{m}\).
\[ \text{Distance totale pour les déplacements} = (56 - 1) \times 1{,}5 = 55 \times 1{,}5 = 82{,}5\,\text{m} \]
Distance totale parcourue dans ce scénario :
\[ \text{Distance totale} = 3\,136 + 82{,}5 = 3\,218{,}5\,\text{m} \]
Conclusion :
Peindre parallèlement à la hauteur du mur permet à Sofia de parcourir une distance totale légèrement inférieure, soit \(3\,218{,}5\,\text{m}\), comparativement à \(3\,247{,}5\,\text{m}\) lorsqu’elle peint parallèlement à la longueur. Ainsi, pour minimiser la distance totale parcourue, Sofia doit peindre parallèlement à la hauteur du mur.